Бернулиев принцип

Во динамика на флуидите, Бернулиевиот принцип вели дека зголемувањето на брзината на флуидот се случува истовремено со намалувањето на притисокот или намалувањето на потенцијалната енергија на флуидот.^[1]^[2] Принципот е наречен по Даниел Бернули кој го објавил во неговата книга Хидродинамика во 1738.

Течение на вода во Вентури-метар. Кинетичката енергија се зголемува на сметка на флуидниот притисок, прикажано преку разликите во висина на двете колони со вода.

Видео од вентури-метар користен во лабораториски експеримент.

Бернулиевиот принцип може да биде применет на различни видови на флуиден проток, што резултира со разни форми на Бернулиевата равенка'; има различни форми на Бернулиевата равенка за различни видови на проток. Простата форма на Бернулиевата равенка важи за некомпресијабилен проток (н.п. повеќето течни протоци и гасови moving со низок Махов број). Понапредни форми можат да бидат применети на компресибијален проток со повисок Махов број.

Бернулиевиот принцип може да се добие од принципот на зачувување на енергија. Тоа вели дека во постојан проток, сумата од сите форми на енергија во флуидот во флуид покрај насоката е иста во сите точки на таа насока. Тоа бара сумата на кинетичката енергија, потенцијалната енергија и внатрешната енергија да останат константни.^[2] така што зголемување на брзината на флуидот – подразбирајќи зголемување и на динамичниот притисок и кинетичката енергија – се случува со истовремено намалување на сумата на неговиот статичен притисок, потенцијална и внатрешна енергија. Ако флуидот тече од резервар, сумата на сите форми енергија е иста во сите насоки сошто во резервар енергијата по единица волумен (сумата на притисокот и гравитациската потенцијала ρ g h) е иста секаде.^[3]

Бернулиевиот принцип може исто така да се добие директно од Вториот Њутнов закон. Ако мал волумен од флуидот тече хоризонтално од место со висок притисок до место со низок притисок, тогаш има повеќе притисок позади отколку што напред. Тоа дава нето сила на волуменот, зголемувајќи го по насоката.^[4]^[5]^[6]

Флуидните честички се подложни само на притисокот и нивната тежина. Ако флуидот тече хоризонтално и по дел од насоката, каде брзината се зголемува тоа е така само заради тоа што флуидот на тој дел се преместил на место со помал притисок; и ако брзината се намалува, тоа е така само заради тоа што тој се преместил на дел со поголем притисок. Како резултат на тоа, во рамките на флуидот кој тече хоризонтално, најголемата брзина се случува кога притисокот е најнизок, а најголема брзина се случува кога притисокот е највисок.^[7]

Равенка на некомпресијабилен проток

Кај повеќето протоци на течност, и на гасови со низок Махов број, густината на парцела на флуид може да се смета како константна, несметајќи ја варијабилноста на притисокот во течението. Така што, флуидот ќе се смета за некомпресијабилен и тие протоци ќе бидат наречени некомпресијабилни. Бернили ги изведувал своите експеримнти на течности, значи равенката во нејзината првична форма важи само за некмпресијабилен проток. Честа форма на Бернулиевата равенка, која важи за секоја произволна точка низ насоката, е:

{\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}

(A)

where:

v

е брзината на протокот в некоја точка во насоката,

g

е Земјино забрзување,

z

е подигнатоста од некоја точка над рамнината, со позитивната

z

-насока која покажува нагоре – значи во насоката спротивна на Земјиното забрзување,

p

е притисокот на избрана точка, и

ρ

е густината на флуидот во сите точки.

Константата на десната страна на равенката зависисамо од избраната насока, додека $v$ , $z$ и $p$ зависат само од посебните точки во таа насока.

Следниве претпоставки мора да се исполнети за бернулиевата равенка да работи:^[8]

течението мора да биде стабилно, т.e. брзината на флуидот во некоја точка не може да се смени со време,
течението мора да биде некомпресијабилно – иако притисокот се менува, густината мора да остане константна низ насоката;
триењето на вискозносните сили може да биде занемарливо.
Течение по насока: флуидниот елемент мора да фо има по течението, и правецот да не е пресечен.

За полето на конзервативна сила (кое не е ограничено со гравитациското поле), Бернулиевата равенка може да биде генерализирана како:^[8]

{\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}

Каде $Ψ$ е потенцијала на силата на точка од правецот која се разгледува. н.п. за Земјината гравитација $Ψ = gz$ .

Со множење на густината на флуидот $ρ$ , равенката(A) може да се запише како:

{\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{constant}}

или:

q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{constant}}

каде

$q = 12 ρv 2$ е динамичен притисок,
$h = z + p ρg$ е хидраулична глава (сума на подигнувањето $z$ и притисочната главо)^[9]^[10] и
$p 0 = p + q$ е целосен притисок (сума на статичниот притисок $p$ и динамичниот притисок. $q$ ).^[11]

Константата во бернулиевата равенка може да биде нормализирана. чест пристап е ворамки на целосна or глава на енергија $H$ :

H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},

Овие равенки укажуваат дека постои брзина на течението каде притисокот е еднаков на 0, и во поголеми брзини притисокот е негативен број. Најчесто, гасовите и течноститие не се способни за негативен апсолутен притисок, па дури и нула, значи равенката престанува да биде валидна пред да се стигне до нула притисок. Кај течностите – кога притисокот станува премногу мал – се случува кавитаација.Равенката користи линеарна врска помеѓу квадратот на брзината на течението и притисокот. За повисоки брзини кај гасови, или за звучни бранови во течности, промените на густина стануваат позначајни така што претпоставката законстантна густина не е точна.

Проста форма

Кај многу употреби на бернулиевата равенка, промената на $ρgz$ е толку мала во однос на другите што може да се игнорира. На пример, во слаучај на авион во лет, промената на висина $z$ е толку мала што $ρgz$ може да се изоставо. ова овозможива равенката да може да се прикаже во следната упростена форма:

p+q=p_{0}

Каде $p 0$ се вика "целосен притисок", и $q$ е "днамичен притисок".^[12] Many authors refer to the pressure $p$ as static pressure to distinguish it from total pressure $p 0$ and dynamic pressure $q$ . In Aerodynamics, L.J. Clancy writes: "To distinguish it from the total and dynamic pressures, the actual pressure of the fluid, which is associated not with its motion but with its state, is often referred to as the static pressure, but where the term pressure alone is used it refers to this static pressure."^[13]

Упростената форма на Бернулиевата равенка може да биде сумирана со следната зборовна равенка:^[13]

статичен притисок + динамичен притисок = целосен притисок

Секоја точка во постојанотечен флуид, без оглед на брзината на флуидот во таа точка, има свој уникатен статичен притисок $p$ и динамичен приитисок $q$ . нивната сума $p + q$ е дефинирана да биде целосен притисок $p 0$ . Бажноста на Бернулиевиот принцип може да се сумира како "целосниот притисок е константен низ патеката".

Искористување на равенката за немпресијабилен проток во проток на гасови

Бернулиевата равенка е пронекогаш важечка кај проток на гас: под услов дека нема трансвер на кинетичка или потенцијална енергија од протокот на гасот до компресијата или експанзијата на гасот. Ако и неговиот притисок и волуменот се сменат истовремено, тогаш работата ќе биде извршена на или од гасот. Во тој случај, Бернулиевата равенка – во нејзината немпресијабилна форма – не може да се подразбере како важечка. Но, ако процесот е целосно изобарен, или изохорен, тогаш во или од гасот не е извршена работа, (за балансот на проста енергија да не биде нарушен). Според законот за гасови, изобарен или изохорен процес е обично единствениот начин да се обезбеди константна густина во гас. Исто така густината на гасот ќе биде пропорционална со соодносот на притисокот и апсолутната температура, но овој однос ќе се промени со компресија или експанзија. Единствениот исклучок е ако трансферот на нето топлина е нула, како во целосен термодинамичен циклус, или во поединечен исентропичен процес, и дури тогаш овој обратен процес мора да биде свртен, за во гасот да се врати првичниот притисок и волумен, па и густниата. Дури тогаш орегиналната, немодифицирана равенка може да се користи. Во овој случај равенката може да се користи ако брзината на протокот на гасот е прилично под брзината на звукот, така што варијацијата на густина на гасот (заради овој ефект) по секоја насока може да се игнорира. Адибајатичен проток на помалку од Мах 0.3 е обично сметан за доволно бавен.

Нестабилен потенцијален проток

Бернулиевата равенка за нестабилен потенцијален проток е користена во теорија на океански поврински бранови и акустика.

За ирационален проток, брзината на протокот може да се опише како градиент $\nabla φ$ од од потенцијал на брзината $φ$ . Во тој случај, и за константна густина $ρ$ , импулсноите равенки на ојлеровите равенки може да се сведе до:^[14]

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),

Бернулиева равенка која исти така важи и за нестабилен— или временскизависен— проток. Овде $\partial φ \partial t$ го означува парцијалниот дериват на потенцијалот на брзината $φ$ во однос на времето $t$ , и $v = |\nabla φ |$ е брзината на протокот. Функцијата $f (t)$ зависи само од времето а не на позицијата на флуидот. Како резултат, Бернулиевата равенка во некој момент $t$ не се однесува на одредени теченија, туку на целосниот флуидски домен. Ова е исто така вистинито за посебните случаи на стабилен ирационален проток, во кој случај $f$ е константа.^[14]

Потоа $f (t)$ може да се направи еднакво на нула со неговото искористување во потенцијалот на брзината, користејќи ја трансформацијата

\Phi =\varphi -\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,

која резултира во

\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=0.

Треба да се напомене дека односот од потенцијалата до брзината на протокот не е променета од оваа трансформација: $\nabla Φ = \nabla φ$ .

Бернулиевата равенка за нестабилен потенцијален проток се чини дека игра централна улога во Луковиот варијационен принцип, a вариациониот опис на слободната површина тече користејќи ја Лагрангиановата механика (која не треба да се меша со Лагрангијанови координати).

Равенка за компресијабилен проток

Бернули ја развил својата равенка од неговите набљудувања на течности, и неговата равенка се однесува само на некомпресијабилни флуиди, и компресијабилни флуиди до околу Махов број 0.3.^[15] Можно е да се користат фундаменталните принципи на физиката да се развијат слични равенки кои можат да се искористат кај компресијабилни флуиди. Има голем број на равенки, секоја скроена за посебна примена, но сите се аналогни со Бернулиевата равенка и сите се потпираат на ништо повеќе од фундаменталните принципи на физиката како Њутновите закони за движење или првиот закон на термодинамика.

Компресијабилен проток во флуидна динамика

За компресијабилни флуиди, со баротопична равенка за сосотојба, и под дејство на конзервативна сила,^[16]

{\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}+\Psi ={\text{constant (along a streamline)}}

каде:

$p$ е притисокот
$ρ$ е густината
$v$ е брзина на протокот
$Ψ$ е потенцијала поврзана со полетона конзервативна сила, најчесто гравитациска потенцијала

Во инжинерството, поткренувањата се обично мали во споредба со големината на земјата, и временските скали на флуидниот проток се доволно мали да равенкта за состојба да се разгледува како адијабатична. Во тој случај, равенкта горе станува ^[17]

{\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant (along a streamline)}}

каде:

$γ$ е однос на топлински капацитет на флуидот
$g$ е Земјино забрзување
$z$ е подигнувањето над референтната рамнина

Кај многу употреби на компресијабилен проток, промените во висината се занемарливи во однос на другите услови, значи условот gz може да се изостави. Тогаш многу корисна форма на равенката е:

{\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}

каде:

$p 0$ е целосен притисок
$ρ 0$ е целосната густина

Компресијабилен проток во термодинамика

Најопштата форма на равенката, соодветна за користење во термодинамиката во случај на (квази) стабилен проток, е:^[2]^[18]^[19]

{\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +w={\text{constant}}.

Овде $w$ е енталпија во единица маса, што ечесто запишано како $h$ (кое не треба да се помеша со "висина").

Треба да се напомене дека $w = ε + p ρ$ каде $ε$ е термодинамична енергија во единица маса, позната како специфична внатрешна енергија. Значи, за константнс внсатршна енергија $ε$ равенката се враќа до нејзината форма за некомпресилабилен проток.

Константата на десната страна е често наречена Бернулиева константа и означена како $b$ . За стабилен невискозен адиабатичен проток без извори или губење на енергија, $b$ е константа по кое било течение. Обично, кога $b$ може да биде променлива, сè уште е корисен параметар, поврзано со "главата" на флуидот (види доле).

Каде промената на $Ψ$ може да се игнорира, многу корисна форма на равенката е:

{\frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}

Каде $w 0$ е целосната енталпија. За калорично совршен гас, како идеален гас, енталпијата е правопропорционална со температурата, и ова води до концептот за целосна (или стагнациона) температура.

Каде ударните бранови се присутни, во референтна рамка во која шокот е стационарен и протокот е стабилен, многу од параметрите во Бернулиевата равенка патат од нагли промени кога се низ шокот. Самиот Бернулиев параметар, сепак, останува непроменет. Исклучок на ова правило се радиоактивните шокови, кои ги нарушуваат претпоставките кои водат до Бернулиевата равенка, имено недостатокот од дополнтелни загуби или извори на енергија.

Поврзано

Наводи

↑ Clancy, L.J., Aerodynamics, Chapter 3.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Batchelor, G.K. (1967), Section 3.5, pp. 156–64.
↑ Streeter, V.L., Fluid Mechanics, Example 3.5, McGraw–Hill Inc. (1966), New York.
↑ "If the particle is in a region of varying pressure (a non-vanishing pressure gradient in the $x$ -direction) and if the particle has a finite size $l$ , then the front of the particle will be ‘seeing’ a different pressure from the rear. More precisely, if the pressure drops in the $x$ -direction ( $dp dx < 0$ ) the pressure at the rear is higher than at the front and the particle experiences a (positive) net force. According to Newton’s second law, this force causes an acceleration and the particle’s velocity increases as it moves along the streamline... Bernoulli's equation describes this mathematically (see the complete derivation in the appendix)."Babinsky, Holger (November 2003), „How do wings work?“ (PDF), Physics Education
↑ "Acceleration of air is caused by pressure gradients. Air is accelerated in direction of the velocity if the pressure goes down. Thus the decrease of pressure is the cause of a higher velocity." Weltner, Klaus; Ingelman-Sundberg, Martin, Misinterpretations of Bernoulli's Law, Архивирано од изворникот на April 29, 2009
↑ " The idea is that as the parcel moves along, following a streamline, as it moves into an area of higher pressure there will be higher pressure ahead (higher than the pressure behind) and this will exert a force on the parcel, slowing it down. Conversely if the parcel is moving into a region of lower pressure, there will be an higher pressure behind it (higher than the pressure ahead), speeding it up. As always, any unbalanced force will cause a change in momentum (and velocity), as required by Newton’s laws of motion." See How It Flies John S. Denker http://www.av8n.com/how/htm/airfoils.html
↑ Resnick, R. and Halliday, D. (1960), section 18-4, Physics, John Wiley & Sons, Inc.
↑ ^8,0 ^8,1 Batchelor, G.K. (1967), §5.1, p. 265.
↑ Mulley, Raymond (2004). Flow of Industrial Fluids: Theory and Equations. CRC Press. стр. 43–44. ISBN 0-8493-2767-9.
↑ Chanson, Hubert (2004). Hydraulics of Open Channel Flow: An Introduction. Butterworth-Heinemann. стр. 22. ISBN 0-7506-5978-5.
↑ Oertel, Herbert; Prandtl, Ludwig; Böhle, M.; Mayes, Katherine (2004). Prandtl's Essentials of Fluid Mechanics. Springer. стр. 70–71. ISBN 0-387-40437-6.
↑ „Bernoulli's Equation“. NASA Glenn Research Center. Архивирано од изворникот на 2012-07-31. Посетено на 2009-03-04.
↑ ^13,0 ^13,1 Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 3.5.
↑ ^14,0 ^14,1 Batchelor, G.K. (1967), p. 383
↑ White, Frank M. Fluid Mechanics, 6th ed. McGraw-Hill International Edition. p. 602.
↑ Clarke C. and Carswell B., Astrophysical Fluid Dynamics
↑ Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 3.11
↑ Landau & Lifshitz (1987, §5)
↑ Van Wylen, G.J., and Sonntag, R.E., (1965), Fundamentals of Classical Thermodynamics, Section 5.9, John Wiley and Sons Inc., New York

Дополнителна литература

Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.
Clancy, L.J. (1975). Aerodynamics. Pitman Publishing, London. ISBN 0-273-01120-0.
Lamb, H. (1993). Hydrodynamics (6. изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9. Originally published in 1879; the 6th extended edition appeared first in 1932.
Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1987). Fluid Mechanics. Course of Theoretical Physics (2. изд.). Pergamon Press. ISBN 0-7506-2767-0.
Chanson, H. (2009). Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows. CRC Press, Taylor & Francis Group. ISBN 978-0-415-49271-3.

Надворешни врски

Bernoulli equation calculator
Denver University – Bernoulli's equation and pressure measurement
Millersville University – Applications of Euler's equation Архивирано на 1 февруари 2008 г.
NASA – Beginner's guide to aerodynamics Архивирано на 15 јули 2012 г.
Misinterpretations of Bernoulli's equation – Weltner and Ingelman-Sundberg Архивирано на 8 февруари 2012 г.

[1] Clancy, L.J., Aerodynamics, Chapter 3.

[Batchelor_3.5-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Batchelor, G.K. (1967), Section 3.5, pp. 156–64.

[3] Streeter, V.L., Fluid Mechanics, Example 3.5, McGraw–Hill Inc. (1966), New York.

[Babinsky-4] "If the particle is in a region of varying pressure (a non-vanishing pressure gradient in the $x$ -direction) and if the particle has a finite size $l$ , then the front of the particle will be ‘seeing’ a different pressure from the rear. More precisely, if the pressure drops in the $x$ -direction ( $dp dx < 0$ ) the pressure at the rear is higher than at the front and the particle experiences a (positive) net force. According to Newton’s second law, this force causes an acceleration and the particle’s velocity increases as it moves along the streamline... Bernoulli's equation describes this mathematically (see the complete derivation in the appendix)."Babinsky, Holger (November 2003), „How do wings work?“ (PDF), Physics Education

[Weltner-5] "Acceleration of air is caused by pressure gradients. Air is accelerated in direction of the velocity if the pressure goes down. Thus the decrease of pressure is the cause of a higher velocity." Weltner, Klaus; Ingelman-Sundberg, Martin, Misinterpretations of Bernoulli's Law, Архивирано од изворникот на April 29, 2009

[6] " The idea is that as the parcel moves along, following a streamline, as it moves into an area of higher pressure there will be higher pressure ahead (higher than the pressure behind) and this will exert a force on the parcel, slowing it down. Conversely if the parcel is moving into a region of lower pressure, there will be an higher pressure behind it (higher than the pressure ahead), speeding it up. As always, any unbalanced force will cause a change in momentum (and velocity), as required by Newton’s laws of motion." See How It Flies John S. Denker http://www.av8n.com/how/htm/airfoils.html

[7] Resnick, R. and Halliday, D. (1960), section 18-4, Physics, John Wiley & Sons, Inc.

[Batchelor_265-8] 8,0 ^8,1 Batchelor, G.K. (1967), §5.1, p. 265.

[Mulley_43_44-9] Mulley, Raymond (2004). Flow of Industrial Fluids: Theory and Equations. CRC Press. стр. 43–44. ISBN 0-8493-2767-9.

[Chanson_22-10] Chanson, Hubert (2004). Hydraulics of Open Channel Flow: An Introduction. Butterworth-Heinemann. стр. 22. ISBN 0-7506-5978-5.

[11] Oertel, Herbert; Prandtl, Ludwig; Böhle, M.; Mayes, Katherine (2004). Prandtl's Essentials of Fluid Mechanics. Springer. стр. 70–71. ISBN 0-387-40437-6.

[12] „Bernoulli's Equation“. NASA Glenn Research Center. Архивирано од изворникот на 2012-07-31. Посетено на 2009-03-04.

[Clancy3.5-13] 13,0 ^13,1 Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 3.5.

[Batch383-14] 14,0 ^14,1 Batchelor, G.K. (1967), p. 383

[15] White, Frank M. Fluid Mechanics, 6th ed. McGraw-Hill International Edition. p. 602.

[16] Clarke C. and Carswell B., Astrophysical Fluid Dynamics

[17] Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 3.11

[18] Landau & Lifshitz (1987, §5)

[19] Van Wylen, G.J., and Sonntag, R.E., (1965), Fundamentals of Classical Thermodynamics, Section 5.9, John Wiley and Sons Inc., New York

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]