Цилиндар (геометрија)

Во математиката, цилиндар или валец е просторна површина (квадрика), со следнава равенка во декартови координати:

Правилен кружен цилиндар

Елиптичен цилиндар

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.$

Ова е равенка за елиптичен цилиндар, воопштување на обичниот, кружен цилиндар (a = b). Уште поопшт е воопштениот цилиндар: напречниот пресек може да биде било која крива.

Цртање на цилиндарот

Нека е дадена кружница к(О, r) и права р што не лежи на рамнината на кружницата, а со неа има една заедничка точка. Правата p што се лизга по кружницата, така што останува паралелна со својата првобитна положба, опишува една крива површина која се вика цилиндрична површина. Правата p се вика генератриса или изводница, а кружницата по која се лизга правата се вика директриса или водилка. Ако генератрисата е нормална на рамнината на кружницата, тогаш се добива права кружна цилиндрична површина, а во спротивно, се добива коса цилиндрична површина. Делот од просторот ограничен со дел од цилиндрична површина и круговите што таа ги отсекува од двете рамнини кои се паралелни со рамнината на директисата прави геометриско тело што се вика кружен цилиндар или само цилиндар. Круговите што се добиваат како пресек на цилиндричната површина со двете рамнини се викаат основи, а делот од цилиндричната површина меѓу основите се вика бочна површина на цилиндарот. Отсечката чии крајни точки се центрите на основите на цилиндарот се вика оска на цилиндарот. Најпосле, растојанието меѓу основите се вика висина на цилиндарот. Цилиндарот на кој генератрисата е нормална на основите се вика прав цилиндар. Правиот цилиндар може да се добие со ротација на правоаголник околу една негова страна или околу една негова оска на симетријата.

Ако цилиндарот го пресечеме со една рамнина, тогаш паралелниот пресек на цилиндарот е круг кој е складен на основата на цулиндарот. Основниот пресек на прав цилиндар е правоаголник чии страни се дијаметарот на основата и оската (висината) на цилиндарот. Цилиндарот чиј осен пресек е квадрат се вика рамностран цилиндар. Пресекот на цилиндарот со рамнината што е паралелна со оската на цилиндарот се вика надолжен пресек.

Цилиндарот е дегенерирана квадрика бидејќи најмалку една од координатите (во овој случај z) не се јавува во равенката (т.е. е „слободна“). По некои дефиниции цилиндарот не се ни смета за квадрика.

Зафатнина и површина

Во секојдневна употреба цилиндар се смета за конечен дел од правилен кружен цилиндар со затворени краеви кои обликуваат две кружни површини, како на сликата (десно). Ако цилиндарот има полупречник r и должина (висина) h, тогаш неговата зафатнина е:

$V=\pi r^{2}h\,$

каде: r е радиусот на основата на цилиндарот, додека h е висината на цилиндарот.

Плоштината на цилиндарот може да се пресмета на следниов начин:

$A=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h).\,$

За дадена зафатнина, цилиндарот со најмала плоштина е h = 2r. За дадена плоштина, цилиндарот со најголем волумен е h = 2r, т.е. цилиндарот влегува во коцка (висина = пречник.)

Бочната плоштина на цилиндарот е еднаква на производот од неговата висина и периметарот на кружницата чиј радиус е еднаков со должината на нормалата повлечена од средната точка на генератрисата до пресекот со оската на ротација.

Постојат други, понеобични, видови цилиндри, како што се: имагинарни елиптични цилиндри

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1$

хиперболичен цилиндар

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

и параболички цилиндар

$x^{2}+2ay=0.\,$

Поврзано

• Штајнмецово тело — пресекот на два или три исправени цилиндри

Надворешни врски

• Плоштина (англиски)
• Волумен (англиски)
• Вртечки цилиндар (англиски)
• Пресметајте површина и волумен со ваши вредности Архивирано на 16 мај 2021 г. (англиски)