Полупериметар

Во геометријата, полупериметар на еден многуаголник е половина на неговиот периметар. Полупериметарот обично се означува со буквата s (semiperimeter). Полупериметарот се користи доста често во формули, особено кај триаголниците, па затоа има свое име (и страна).

Триаголник

Полупериметар на триаголник со страни a, b и c е:

$s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$

Пример: Нека ΔABC е триаголник со страни a=2mm, b=2mm и c=1mm.

Полупериметарот е:   $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(2{\text{mm}}+2{\text{mm}}+1{\text{mm}})={\tfrac {5}{2}}{\text{mm}}=2,5{\text{mm}}$

Формули со полупериметар на триаголник

Плоштината е: $A=rs$

Плоштината на еден триаголник се пресметува преку полупериметарот со Херонова формула:

$A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$.

Плоштината на еден триаголник е еднаква на производот на полупречникот r на неговата впишана кружница со полупериметарот:

$A=rs$.

Полупречникот r на впишаната кружница на еден триаголник е:

$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$

Полупречникот R на опишаната кружница на еден триаголник е:

$2R={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}$

Основни особини

• Полупериметар s е позитивен број. Физичка величина за полупериметар е должина.
• Важат формулите $s-a={\tfrac {1}{2}}(-a+b+c)$   и   $s-b={\tfrac {1}{2}}(a-b+c)$   и   $s-c={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)$ .

Доказ за s-a (Аналогно се докажува декаа s-b и s-c):

$s-a={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)-a={\tfrac {1}{2}}(-a+b+c)$.

• Полупериметар s e поголем од секоја страна од триаголникот.

Доказ за s>a (Аналогно се докажува дека s>b и s>c):

Од неравенството на триаголник, збирот на кои било две страни на еден триаголник е поголем од третата страна, па следи

$b+c>a$

$-a+b+c>0$

$2(s-a)>0$

$s>a$.

Полупериметар и правоаголен триаголник

• Плоштина на правоаголен триаголник со катети a и b е:

$A=(s-a)(s-b)$

• За правоаголен триаголник, полупречникот на надворешната кружница на хипотенузата е еднаква на полупериметар.
• Полупериметарот на правоаголен триаголник s=r+2R.

Други карактеристики на полупериметарот

Во кој било триаголник, растојанието околу триаголникот од едно теме до точката на обратниот раб каде што допира надворешната кружница е полупериметарот.

• Во кој било триаголник, должината од темето А до точката А' во која надворешната кружница ја допира страната а е полупериметарот, односно $s={\overline {AB}}+{\overline {BA'}}={\overline {AC}}+{\overline {CA'}}$  . Аналогно важат равенките: $s={\overline {BC}}+{\overline {CB'}}={\overline {BA}}+{\overline {AB'}}$   и   $s={\overline {CB}}+{\overline {BC'}}={\overline {CA}}+{\overline {AC'}}$
• Права низ центарот на впишаната кружница на еден триаголник го преполовува периметарот на триаголникот ако и само ако ја преполовува плоштината на триаголникот.
• Во кој било триаголник T, периметарот на медијанлната триаголник на T е полупериметарот на T.

Четириаголник

Полупериметарот на четириаголник со страни a, b, c и d е

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$.

Плоштината на еден тангентен четириаголник е еднаква на производот на полупречникот r на неговата впишана кружница со неговиот полупериметар:

$A=rs$.

Правилен многуаголник

Плоштината на конвексен правилен многуаголник е производ на неговиот полупериметар и неговата апотема, т.е. отсечка од центарот на многуаголникот до средината на (која било) од неговите страни.

Поврзани теми

Херонова формула

Надворешни врски

• „Полупериметар“ на википедија (англиски)
• „Полупериметар“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• http://www.cut-the-knot.org/triangle/InExCircles.shtml (англиски)