Полупериметар

Во геометријата, полупериметар на еден многуаголник е половина на неговиот периметар. Полупериметарот обично се означува со буквата s (semiperimeter). Полупериметарот се користи доста често во формули, особено кај триаголниците, па затоа има свое име (и страна).[1]

ТриаголникУреди

Полупериметар на триаголник со страни a, b и c е:

 

Пример: Нека ΔABC е триаголник со страни a=2mm, b=2mm и c=1mm.

Полупериметарот е:    

Формули со полупериметар на триаголникУреди

 
Плоштината е:  

Плоштината на еден триаголник се пресметува преку полупериметарот со Херонова формула:

 .

Плоштината на еден триаголник е еднаква на производот на полупречникот r на неговата впишана кружница со полупериметарот:

 .

Полупречникот r на впишаната кружница на еден триаголник е:

 

Полупречникот R на опишаната кружница на еден триаголник е:

 

Основни особиниУреди

  • Полупериметар s е позитивен број. Физичка величина за полупериметар е должина.
  • Важат формулите     и       и     .
Доказ за s-a (Аналогно се докажува декаа s-b и s-c):
 .
  • Полупериметар s e поголем од секоја страна од триаголникот.
Доказ за s>a (Аналогно се докажува дека s>b и s>c):
Од неравенството на триаголник, збирот на кои било две страни на еден триаголник е поголем од третата страна, па следи
 
 
 
 .

Полупериметар и правоаголен триаголникУреди

 
  • За правоаголен триаголник, полупречникот на надворешната кружница на хипотенузата е еднаква на полупериметар.
  • Полупериметарот на правоаголен триаголник s=r+2R.

Други карактеристики на полупериметаротУреди

 
Во кој било триаголник, растојанието околу триаголникот од едно теме до точката на обратниот раб каде што допира надворешната кружница е полупериметарот.
  • Во кој било триаголник, должината од темето А до точката А' во која надворешната кружница ја допира страната а е полупериметарот, односно    . Аналогно важат равенките:     и    
  • Права низ центарот на впишаната кружница на еден триаголник го преполовува периметарот на триаголникот ако и само ако ја преполовува плоштината на триаголникот.
  • Во кој било триаголник T, периметарот на медијанлната триаголник на T е полупериметарот на T.

ЧетириаголникУреди

Полупериметарот на четириаголник со страни a, b, c и d е

 .

Плоштината на еден тангентен четириаголник е еднаква на производот на полупречникот r на неговата впишана кружница со неговито полупериметар:

 .

Правилен многуаголникУреди

Плоштината на конвексен правилен многуаголник е производ на неговиот полупериметар и неговата апотема, т.е. отсечка од центарот на многуаголникот до средината на (која било) од неговите страни.

ЛитератураУреди

  1. Weisstein, Eric W. "Semiperimeter." http://mathworld.wolfram.com/Semiperimeter.html

Поврзани темиУреди

Херонова формула

Надворешни линковиУреди