Кружен лак

Кружен лак — лак на кружница помеѓу две различни точки. Ако двете точки не се директно една спроти друга, еден од овие лакови, малиот лак, ќе има агол во центарот на кругот кој е помал од π-радијани (180 степени), а другиот лак, големиот лак, ќе има агол поголем од π-радијани. Лакот на кружницата се дефинира како дел или сегмент од обиколката на кружницата. Правата линија што може да се повлече со поврзување на двата краја на лакот е позната како тетива на кружница. Ако должината на лакот е точно половина од кругот, тој е познат како полукружен лак.

Кружен исечок е засенчен со зелено. Неговата крива граница со должина L е кружен лак.

Должина

Должината (поточно, должината на лакот) на лак на кружница со полупречник r и агол θ (мерено во радијани) од центарот на кругот, т.е. централниот агол, е:

$L=\theta r.$

Ова е затоа што:

${\frac {L}{\mathrm {circumference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.$

Со замена на обемот (circumference):

${\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},$

и, со α кој е истиот агол мерен во степени, бидејќи θ = α180 π, должината на лакот е еднаква на:

$L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.$

Практичен начин да се одреди должината на лак во кружница е да се исцртаат две линии од крајните точки на лакот до центарот на кругот, да се измери аголот каде двете линии се сретнуваат со центарот, а потоа да се реши за L со вкрстено множење на исказот:

големина на аголот во степени/360° = L /обем.

На пример, ако големината на аголот е 60 степени, а обемот е 24 см, тогаш

${\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}$

Тоа е така затоа што обемот на кружницата и степените на кружницата, од кои секогаш има 360, се правопропорционални.

Горната половина на кружницата може да се параметризира како:

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.$

Потоа должината на лакот од $x=a$ до $x=b$ е:

$L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.$

Плоштина на исечок

Плоштината на исечокот образуван од лакот и средиштето на кружницата (ограничен со лакот и двата полупречници повлечени до неговите крајни точки) е:

$A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.$

Плоштината A има ист однос со плоштината на кружница и ако аголот θ е полна кружница:

${\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.$

Можеме да го скратиме π од двете страни:

${\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.$

Со множење на двете страни со r 2, го добиваме конечниот резултат:

$A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .$

Користејќи го претворањето опишано погоре, откриваме дека површината на исечокот за централен агол измерена во степени е:

$A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.$

Плоштина на отсечок

Плоштината на обликот ограничен со лакот и правата линија помеѓу неговите две крајни точки е:

${\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).$

За да ја добиеме плоштината на кружниот отсечок, треба да ја одземеме плоштината на триаголникот, одредена од центарот на кругот и двете крајни точки на лакот, од областа $A$ . Видете Кружен отсечок за детали.

Полупречник

Производот на отсечките AP и PB е еднаков на производот на отсечките CP и PD. Ако лакот има ширина AB и висина CP, тогаш пречникот на кругот $CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP$

Користејќи ја Теоремата за вкрстени тетиви (исто така позната како Теорема за степен на точка или Секантно-тангента теорема) можно е да се пресмета полупречникот r на кругот определен со висината H и ширината W на лакот:

Да разгледаме тетива со исти крајни точки како и лакот. Неговата нормална симетрала е друга тетива, која е пречник на кругот. Должината на првата тетива е W, и таа е поделена со симетралата на две еднакви половини, секоја со должинаW2 . Вкупната должина на пречникот е 2r, а со првата тетива е поделен на два дела. Должината на едниот дел е сагита на лакот, H, а другиот дел е остатокот од пречникот, со должина 2r − Х. Примената на теоремата за вкрстени тетиви на овие две тетиви се добива:

$H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},$

од каде

$2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},$

па

$r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.$

Поврзано

• Обем

Надворешни врски

• Table of contents for Math Open Reference Circle pages
• Math Open Reference page on circular arcs With interactive animation
• Math Open Reference page on Radius of a circular arc or segment With interactive animation
• „Arc“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)