Кружен отсечок

Кружен отсечок (симбол: ⌓ ) — област на кругот што е „отсечен“ од остатокот од кругот со секанта или тетива. Поформално, кружен отсечок е област од дводимензионален простор кој е ограничен со кружен лак (помалку од π радијани според конвенцијата) и со тетива што ги поврзува крајните точки на лакот.

Формули

Нека R е полупречникот на лакот што е дел од периметарот на отсечокот, θ централниот агол што го потчинува лакот во радијани, c должината на тетивата, s должината на лакот, h сагитата (висина) на отсечокот и a плоштината на отсечокот.

Вообичаено, се даваат или се мерат должината и висината на тетивата, а понекогаш и должината на лакот како дел од периметарот, а непознати се површината, а понекогаш и должината на лакот. Тие не можат да се пресметаат едноставно од должината и висината на тетивата, така што прво се пресметуваат две меѓувеличини, полупречникот и централниот агол.

Полупречник и централен агол

Полупречникот е:

R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}

^[1]

Централниот агол е:

\theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}

Должина и висина на тетива

Должината и висината на тетивата може да се пресметаат од полупречникот и централниот агол со:

Должината на тетивата е:

c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}

c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}

Сагитата е:

h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}

Должина и плоштина на лакот

Должината на лакот, од познатата геометрија на кружница, е:

s={\theta }R

Плоштината a на кружниот отсечок е еднаков на плоштината на кружниот исечок минус плоштината на триаголниот дел (со користење на формулата за двоен агол за да се добие равенка во однос на $\theta$ ):

a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)

Во однос на R и h,

a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}

за жал, $a$ е трансцендентална функција од $c$ и $h$ , па не може да се наведе алгебарска формула во однос на овие. Но, она што може да се каже е дека како што централниот агол станува помал (или наизменично полупречникот станува поголем), областа брзо и асимптотски се приближува на ${\tfrac {2}{3}}c\cdot h$ . Ако $\theta \ll 1$ , $a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h$ е значително добра апроксимација.

Како што централниот агол се приближува кон π, плоштината на отсечката се приближува кон плоштината на полукругот, ${\tfrac {\pi R^{2}}{2}}$ , така што добра апроксимација е делта поместување од последната плоштина:

a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)

за h>,75 Р

На пример, плоштината на една четвртина од кругот кога θ ~ 2,31 радијани (132,3°) што одговара на висина од ~ 59,6% и должина на тетивата од ~ 183% од полупречникот.

Итн.

Периметарот p е должината на лакот плус должината на тетивата,

p=c+s=c+\theta R

Како дел од целата плоштина на кругот, $A=\pi R^{2}$ , имаме

{\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}

Примени

Формулата за плоштина може да се користи при пресметување на зафатнина на делумно наполнет цилиндричен резервоар кој се поставува хоризонтално.

Во дизајнот на прозорците или вратите со заоблени горни делови, c и h може да бидат единствените познати вредности и може да се користат за пресметување на R.

Може да се реконструираат целосните димензии на целосен кружен објект од фрагменти со мерење на должината на лакот и должината на тетивата на фрагментот.

За проверка на позициите на дупките на кружен примерок. Особено корисно за проверка на квалитетот на обработените производи.

За пресметување на плоштина или центар на рамнински облик кој содржи кружни отсечоци.

Поврзано

Наводи

↑ Основната врска помеѓу R, c и h што може директно да се изведе од Питагоровата теорема меѓу компонентите R, C/2 и r-h на правоаголен триаголник е: $R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}$ што може да се реши по R, c, или h според барањето.

Надворешни врски

Definition of a circular segment With interactive animation
Formulae for area of a circular segment With interactive animation

[1] Основната врска помеѓу R, c и h што може директно да се изведе од Питагоровата теорема меѓу компонентите R, C/2 и r-h на правоаголен триаголник е: $R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}$ што може да се реши по R, c, или h според барањето.

[1]