Теорија на веројатноста

Дијаграм на можните комбинации при фрлање на две коцки

Теорија на веројатноста — гранка на математиката која се занимава со изучување на веројатноста, односно анализа на случајни појави.

Математиката ја предочува веројатноста на некој настан (чие настапување е случајно) како реален број од затворениот интервал од 0 до 1. Веројатностите им се препишуваат на настани според аксиомите на веројатноста.

Веројатноста дека тој настан ќе се случи под услов на познатото случување на настанот е условна веројатност на под услов ; неговата нумеричка вредност е (сè додека не е нула). Ако условната веројатност на под услов и иста што и („безусловната“) веројатност на , тогаш и се нарекуваат независни настани. Дека оваа релација помеѓу и е симетрична, може веднаш да се види преку фактот дека тоа е исто што и каде A и B се независни настани.

Два клучни концепти во теоријата на веројатноста се случајната променлива и веројатносен распоред на случајна променлива.

Поапстрактен поглед на веројатностаУреди

Математичарите обично ја сметаат теоријата на веројатноста за изучување на простори на веројатноста и случајни променливи — пристап воведен од Колмогоров во 1930-тите. Простор на веројатност е секоја тројка  , каде

  •   е празно множество (наречено „примерочен простор“), секој од чии членови се смета за потенцијален исход на еден експеримент. На пример, ако треба да извлечеме случајни 100 гласачи од сите гласачи и ги прашаме за кого ќе гласаат, тогаш множеството на сите низи на 100 гласачи би бил примерочниот простор Ω.
  •   е σ-алгебра на подмножества на   - неговите членови се наречени „настани“. на пример, множеството од сите низи од 100-те гласачи во кое најмалку 60 ќе гласаат за Х се поистоветува со „настанот“ во кој најмалку 60 од 100-те избрани гласачи ќе гласаат така. Да се каже дека   е σ-алгебра подразбира по дефиниција дека содржи  , дека комплементот на секој настан е настан, и дека унијата од било која (конечна или бесконечна) низа на настани е настан.

Треба да се спомене дека   е функција дефинирана на  , а не на  , и често не сочинуваат ни булеан  . Не секое множество исходи претставува настан.

Ако   е преброиво множество, тогаш речиси секогаш го дефинираме   како булеан на  , т.е.   кој тривијално е σ-алгебра и можеме да го создадеме најголемото со  . Така, во дискретен простор можеме да го испуштиме   и да напишеме само   за да го дефинираме. Во друг случај, ако   е непреброиво множество и користиме  , тогаш се јавува проблем со дефинирањето на мерата на веројатноста   заради тоа што   е премногу ,голем', т.е. пречесто ќе се јавуваат множества на кои би било незовможно да им се препише уникатна мера, отворајќи проблеми како Банах-Тарсковиот парадокс. Значи мораме да користиме помала σ-алгебра   (на пр. Борелова алггебра на  , која е најмалата σ-алгебра со која сите отворени множества се измерливи).

Случајна променлива   е измерлива функција на  . На пример, бројот на гласачите кои ќе гласаат за Х од споменатиот примерок од 100 е случајна променлива.

Ако   е било која случајна променлива, нотацијата  , е стенографија за  , под претпоставка дека „ “ е „настан“.

За алгебарската алтернатива на Колмогоровиот пристап, видете алгебра на случајни променливи.

БиблиографијаУреди

  • Pierre Simon de Laplace (1812) Analytical Theory of Probability
  • Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) Foundations of the Theory of Probability
  • Harold Jeffreys (1939) The Theory of Probability
  • Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory
  • Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
  • Henk Tijms (2004) Understanding Probability

ПоврзаноУреди