Поасонова распределба

Поасонова
	Веројатносна функција; Хоризонталната оска е показателот k - бројот на јавувања. Функцијата е зададена само за целобројни вредности на k. Кривите линии што ги поврзуваат служат само како водилка за окото.
	Распределбена функција; Хоризонталната оска е показателот k - бројот на јавувања. Распределната функција прекинува во целите броеви на k, а на другите места е рамна поради тоа што Поасоново-распределната променлива прима само целобројни вредности.
Запис
Параметри	λ > 0 (реални)
Носител	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
ВФ
РФ	--or-- (for , при што is непотполната гама-функција, а е подна функција)
Средина
Медијана
Модус
Варијанса
Накосеност
Вишок зашиленост
Ентропија	(за голема ) ;
МТФ
КФ
ВТФ

Поасоновата распределба — систем кој ја искажува веројатноста да се случат одреден број на настани во одреден временски интервал или во одреден простор доколку овие настани се случуваат во одредена просечна стапка и независно од времето поминато од последниот настан.^[1] Пр. да претпоставиме дека секојдневно на е-пошта добиваме по 4 писма. Според ова ние ги градиме нашите очекувања, но сепак, ќе се појават промени во бројката на примени меилови на дневна база, некогаш поголеми, некогаш помали, а некогаш нема ниту воопшто да се појават промени.^[2] Историската позадина зад Поасоновата распределба е објаснета од Гулберг во 1997 година.^[3]

Историски развиток

Овој концепт е создаден од Симеон Дени Поасон (1781-1840) и публикуван заедно со неговата теорија на веројатноста во 1837 во неговото дело „Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile“.^[4] Ова дело е насочено кон објаснување на случајните променливи N преку кои се пресметува и бројот на одделни настани кои се случуваат во одреден временски период и во одреден простор.

Резултатите биле претставени и претходно од страна на Абрахам де Моавр (1711) во „De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus“. 1Практична примена на овој концепт била направена и од страна на познатиот научник Ладислав Боркиевич во 1898 кога му била дадена задача да го истражи бројот на мртви војници на Пруската армија усмртени случајно од удар на коњ, а овој експеримент ја доведе Поасоновата распределба во полето на областа на сигурносното инженерство.^[5]

Пресметување на Поасоновата распределба

За да ја пресметаме величината на Поасоновата распределба ја користиме следната формула :

f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}

каде :

. е =база на природниот логаритам,
. к! е факториел од к,
. λ= λТ кога бројот на интервали се одвива во временска единица T=1.

Позитивниот реален број λ=очекуваната вредност на X, а исто и на неговата променлива, така ја добиваме формулата :

\lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X)

Случаен процес е семејство на случајни променливи (Xt), tL за кое Т е некој бесконечен збир. Со t овде го означуваме времето. За T најчесто го земаме интервалот [0, +∞) или некој подзбир на овој интервал. Поасоновиот збир e случаен процес зададен од збирот T=[0, +∞) ако за него важи:

.P(X0=0)=1,
.Xt-Xs i Xv-Xu,
.s,t (s<t)

Случајниот процес го нарекуваме стационарен ако неговите конечни димензионални распределби се инваријантни во однос на времето. Овој случај го иразуваме со формулата:

(Xt_{1},Xt_{2},\ldots ,Xt_{n})i(Xt_{1}+s,Xt_{2}+s,\ldots ,Xt_{n}+s)

Изведување на Поасоновата распределба

Поасоновата распределба се изведува на тој начин што се разгледуваат според бројот на настани λ(позитивен број) кои се случуваат во одреден интервал.

Интервалот е поделен на n субинтервали изразени со формулата :

I_{1},\ldots ,I_{n}

Карактеристично за сите овие интервали е што имаат еднаква вредност.

Можноста еден настан да се случи во субинтервалот Ik за секое k е еднаков на λ/n.

Бројот на вкупните X настани ќе биде изведен на биномeн начин со параметри n и λ/n.

Потоа доколку n се зголеми ќе ја добиеме формулата :

B(n,\lambda /n)

Со ова ја добиваме Поасоновата распределба со параметар λ.

Во одредени настани n е со многу голема вредност ,а p со многу мала вредност .

Во овој случај Поасоновата распределба ја пресметуваме со формулата :

X\sim \operatorname {Pois} (np)

Правилото да се случуваат вакви настани е наречено законот за ретки настани.

Можности за пресметување

Во математичката теорија се појавуваат повеќе случаи каде се применуваат различни методи на решавање :

1.Пресметување на прави

-Очекуваната вредност на променливата на Поасоновата распределба е еднаква на λ (позитивен реален број), а еднаква е и на варијациите на овој број

-Коефициентот на варијација е λ-1 /2, додека показателот на дисперзија е еднаков на 1

Отстапувањето на правата во однос на Поасоновата распределба ја пресметуваме со формулата:

\operatorname {E} \vert X-\lambda \vert =2\exp(-\lambda ){\frac {\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}}{\lfloor \lambda \rfloor !}}

2.Пресметување на медијана

Граничните вредности на медијаната (v) од дистрибуцијата се претставени со формулата:

\lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}

3.Пресметување на поважни моменти

Поважните моменти во Поасоновата распределба ги претставуваме со Mk и по нивното потекло тие претставуваат експоненцијални полиноми за λ(позитивен број)) и се изразуваат со формулата:

m_{k}=\sum _{i=1}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}}

Коефициентите на полиномите имаат комбинирано значење.

4.Други пресметки на дистрибуција

-Поасоновата распределба е неограничено диверзен модел и постојат голем број на различни настани и променливи кои можат да се разгледуваат

-Директната дивергенција на Кулбег и Либлер за Pois ( λ0) и Pois( λ) е дадена со формулата:

D_{\text{KL}}(\lambda \Vert \lambda _{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}

^[6]

Примена на Поасоновата распредделба

Примената на Поасоновата распределба, може успешно да ни ги даде веројатностите на бројот на јавувања на некој настан во единица време и простор, а за тоа да се случи постојат и одредени услови за пресметување на Поасоновиот процес:

Бројот на јавувањата на настаните е независен од една до друга единица на време или простор.
Веројатноста на јавување на некој настан е пропорционална со должината на определената единица време и простор.
Веројатноста на истовременото јавувње на два или повеќе настани во сосема мала единица на време или простор е занемарувачки мала.
Се пресметува само колку настани се случиле, а се игнорира бројката на настани кои не се случиле.

Овој последен услов ни ја претставува разликата на Поасоновата распределба со биномната распределба во која бројот на настани помеѓу две вредности кои се во сооднос (p и q) е познат и ни покажува колкав е бројот на настани кои се случиле и колкав е бројот на настани кои не се случиле. Главната одлика на Поасоновата распределба е асиметријата и оваа одлика останува константна без разлика на промената на вредноста на r. Поради ова Поасоновата распределба е наречен абиномна распределба без настанот q.

Поасоновата распределба е поврзана и со други распределби освен биномниот:

-Хипергеометриска распределба

-Експоненцијална распределба

Поради своите врски со овие видови на распределби можеме да заклучиме дека Поасоновата распределба е екстремен случај од сите нив. Кога постои случајност кај настаните испитувани со Поасоновата распределба ние всушност нив ги класифицираме како настани кои ја сочинуваат Поасоновата распределба. Доколку резултатите се премногу различни и комплексни за анализа тогаш се истражува причината.

Примена на Поасоновата распределба имаме во повеќе полиња поврзани со пресметување :

-градежно инженерство

Примери за настани кои се пресметувале/пресметуваат со Поасоновата распределба се следните :

-Бројот на војници убиени од страна на случаен удар од коњ во Пруската армија

-Бројот на повици кои доаѓаат во центарот за повици во текот на една минута

-Бројот на бодови во одреден спорт со вклучување на два противнички тима во одреден временски период

-Број на смртни случаи во текот на една година пресметан за одредена старосна група

-Бројот на промени на ДНК информации под одредено дејство на зрачење

-Бројот на скокови на вредноста на акциите на берзата во одреден временски период

^[7]

Повеќедимензионална Поасонова распределба

Поасоновата распределба расте доколку распределбата на пресметувања во повеќедимензионален интервал и повеќедимензионален Поасонов процес во еквивалентност со резултатот еднодимензионалните распределби. Повеќедимензионалната Поасоновата распределба можеме да ја пресметаме со формулата:

P(N(D)=k)={\frac {(\lambda \vert D\vert )^{k}e^{-\lambda \vert D\vert }}{k!}}

каде :

D е просторот,
IDI е простор во одреден регион, и
N(D) е бројот на настани во D(просторот)

Наводи

↑ Frank A. Haight (1967). Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons. Text "." ignored (help)
↑ „Statistics | The Poisson Distribution“. Umass.edu. 2007-08-24. Архивирано од изворникот на 2012-03-30. Посетено на 2012-04-05.
↑ Gullberg, Jan (1997). Mathematics from the birth of numbers. New York: W. W. Norton. стр. 963–965. ISBN 0-393-04002-X.
↑ S.D. Poisson, Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés (Paris, France: Bachelier, 1837), page 206.
↑ Ladislaus von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen [The law of small numbers] (Leipzig, Germany: B.G. Teubner, 1898). On page 1, Bortkiewicz presents the Poisson distribution. On pages 23–25, Bortkiewicz presents his famous analysis of "4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preussischen Heere Getöteten." (4. Example: Those killed in the Prussian army by a horse's kick.).
↑ ^ E. L. Lehmann (1986). Testing Statistical Hypotheses (second ed.). New York: Springer Verlag.
↑ E. L. Lehmann (1986). Testing Statistical Hypotheses (second ed.). New York: Springer Verlag.

Надворешни врски

[haight-1] Frank A. Haight (1967). Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons. Text "." ignored (help)

[umass1-2] „Statistics | The Poisson Distribution“. Umass.edu. 2007-08-24. Архивирано од изворникот на 2012-03-30. Посетено на 2012-04-05.

[3] Gullberg, Jan (1997). Mathematics from the birth of numbers. New York: W. W. Norton. стр. 963–965. ISBN 0-393-04002-X.

[4] S.D. Poisson, Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés (Paris, France: Bachelier, 1837), page 206.

[5] Ladislaus von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen [The law of small numbers] (Leipzig, Germany: B.G. Teubner, 1898). On page 1, Bortkiewicz presents the Poisson distribution. On pages 23–25, Bortkiewicz presents his famous analysis of "4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preussischen Heere Getöteten." (4. Example: Those killed in the Prussian army by a horse's kick.).

[6] E. L. Lehmann (1986). Testing Statistical Hypotheses (second ed.). New York: Springer Verlag.

[7] E. L. Lehmann (1986). Testing Statistical Hypotheses (second ed.). New York: Springer Verlag.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Веројатносна функција Хоризонталната оска е показателот k - бројот на јавувања. Функцијата е зададена само за целобројни вредности на k. Кривите линии што ги поврзуваат служат само како водилка за окото.
Распределбена функција Хоризонталната оска е показателот k - бројот на јавувања. Распределната функција прекинува во целите броеви на k, а на другите места е рамна поради тоа што Поасоново-распределната променлива прима само целобројни вредности.
Запис	$\mathrm {Pois} (\lambda )\,$
Параметри	λ > 0 (реални)
Носител	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
ВФ	${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }$
РФ	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!$ --or-- $e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\$ (for $k\geq 0$ , при што $\Gamma (x,y)\,\!$ is непотполната гама-функција, а $\lfloor k\rfloor$ е подна функција)
Средина	$\lambda \,\!$
Медијана	$\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
Модус	$\lfloor \lambda \rfloor ,\,\lceil \lambda \rceil -1$
Варијанса	$\lambda \,\!$
Накосеност	$\lambda ^{-1/2}\,$
Вишок зашиленост	$\lambda ^{-1}\,$
Ентропија	$\lambda [1\!-\!\log(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$ (за голема $\lambda$ ) ${\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-$ ${\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O({\frac {1}{\lambda ^{4}}})$
МТФ	$\exp(\lambda (e^{t}-1))\,$
КФ	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$
ВТФ	$\exp(\lambda (z-1))\,$