Стационарен процес

Во математиката, стационарен процес е стохастички процес.

Во некои ситуации е возможно да се добие дистрибуција на процесот,кој води до концептот за стационарност којшто ќе го дефинираме во следното.: Велиме дека стохастичкиот процес (временската низа) е стационарен во смисла ако :

• маргиналните дистрибуции од сите променливе се идентични ;
• крајно - димензионалните дистрибуции од секој сет на променливи зависи само од доцнењето меѓу нив.

Постојат два концепта на стационарноста:

• концепт на слаба стационарност (стационарност во поширока смисла)
• концепт на строга стационарност (стационарност во потесна смисла; силна стационарност).

Стохастичкиот процес има слаба стационарност ако се исполнети следните три услови:

1. Средина: $E(y_{t})$ = μ, t=1, 2, ...
2. Варијанса: $var(y_{t})$ = $E(y_{t}$ - μ) ² = σ², t = 1, 2, ...
3. Коваријанса: $cov(y_{t}$, $y_{t-k})=$ $E[(y_{t}$ - μ ) $(y_{t-k}$ -μ )] = $y_{k}$, t = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...;

каде t ги претставува временските точки, додека k е временското заостанување(Притоа, $y_{k}$ е всушност автоковаријанса (коваријанса на y со своите претходни вредности). Така, $y_{k}$ е коваријанса за временско заостанување од k периоди, односно $y_{k}$ е коваријанса помеѓу вредностите на $y_{t}$ и $y_{t-k}$ (помеѓу вредностите на y кои се оддалечени k периоди). Ако k = 0 се добива $y_{0}$ што претставува варијанса на y = ( σ²); Ако k = 1 се добива $y_{1}$ што претставува коваријанса помеѓу две соседни вредности на y).

Првите два услови значат дека процесот има слабата стационарност ако неговите очекувана вредност (средина) и варијанса не се менуваат низ времето (се константни). Третата равенка значи дека коваријансата помеѓу секои два члена на стохастичкиот процес е функција само од k, временското заостанување помеѓу нив. За дадена вредност на k, коваријансата помеѓу $y_{t}$ и $y_{t-k}$ не се менува низ времето (е константна).

Стохастичкиот процес има строга стационарност ако заедничкиот распоред на веројатност на n опсервации $y_{t1}$ , $y_{t2}$, ... , $y_{tn}$ , добиени од било кое множество на временски точки $t_{1}$,, $t_{2}$, ... , $t_{n}$, е ист со заедничкиот распоред на n опсервации $y_{t1+k}$, $y_{t2+k}$, ... , $y_{tn+k}$, добиени од временските точки $y_{t1}$,+ k, $t_{2}$ , + k, ... , $t_{n}$ + k. Односно, процесот да биде строго стационарен, заедничкиот распоред на било кое множество на опсервации мора да биде непроменет со поместување (напред или назад) на сите временски точки за било кој цел број k. Тоа значи дека случајните променливи кои припаѓаат на строго стационарниот стохастички процес треба да имаат идентична очекувана вредност, варијанса, како и моменти од повисок ред (доколку постојат).

Барањето за строга стационарност е тешко да се потврди емпириски. Поради тоа во многу студии кога се зборува за стационарност се мисли на слабата стационарност.

Надворешни врски

• Спектрална декомпозиција од случајна функција (Спрингер)