Карактеристична функција

U(–1,1) Карактеристична функција на случајна променлива е функција која се среќава во Теоријата на веројатност.

Карактеристична функција на униформа U(–1,1) случајна променлива. Оваа функција е реално проценета затоа што одговара на случајна променлива која е симетрична околу потеклото; сепак карактеристичните функции генерално можат да бидат комплексно вреднувани.

Дефиниција

Нека $X$ е случајна променлива со веројатносна густина $f(x)$. Тогаш карактеристична функција $\Phi (\omega )$ на случајната променлива $X$ е по дефиниција дадена со:

$\Phi (\omega )=E\{e^{j\omega X}\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{j\omega x}\,dx.$

Својства

Се забележува дека $\Phi (\omega )$ е Фуриеовата преобразба на функцијата $f(x)$, така што својствата кои важат за Фуриеовата преобразба ќе важат и за оваа функција.

Може да се забележи дека карактеристичната функција има максимум за $x=0$, бидејќи со оглед на ненегативноста на функцијата на густина на веројатност, $f(x)\geq 0$, важи:

$|{\Phi }_{X}(\omega )|\leq {\Phi }_{X}(0)=1.$

Ако $j\omega$ во дефиницијата се замени со $s$, се добива моментотворната функција ${\Phi }_{X}(s)$ на случајната променлива $X$.

Наводи

A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002

Поврзано

• Фуриеова преобразба
• Случајна променлива
• Веројатносна густина
• Моментотворна функција
• Момент (математика)
• Кумуланта
• Теорема на моменти