Хипергеометриска распределба

Под моделот на распределба се подразбира функционалната врска помеѓу вредностите на случајната променлива и соодветните веројатности, дефинирана со определен тип функција.

Хипергеометриска

Веројатносна функција
Распределбена функција
Параметри	${\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,$
Носител	$\scriptstyle {k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\right\}}\,$
ВФ	${{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
РФ	$1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right],$ каде $\,_{p}F_{q}$ е воопштената хипергеометриска функција
Средина	$n{K \over N}$
Модус	$\left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1,\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Варијанса	$n{K \over N}{N-K \over N}{N-n \over N-1}$
Накосеност	${\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
Вишок зашиленост	$\left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.$ ${\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+{}$ ${}+6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}$
МТФ	${\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!$
КФ	${\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$

Постојат два модели на распределби :

-Прекинати

-Непрекинати

Најпознати модели на прекинати распределби се:

• Биномна распределба
• Хипергеометриска распределба
• Поасонова распределба
• Рамномерна распределба

Хипергеометриска распределба се користи во случај кога сакаме да примениме примерок без повторување кој содржи 5% или повеќе елементи на конечната маса.

Примена

Формулата за веројатносните распределби на хипергеометриската случајна променлива X се конституира врз основа на правилата на комбинаториката.Хипергеометриската распределба може да се утврди според следната формула:

каде: N- големина на масата, n- големина на примерокот (без повторување), x- број, односно успеси во примерокот, n-x - број на неуспеси во примерокот, N₁ - број на успеси во масата , N₂ - број на неуспеси во масата и min (N,x₁) - на минимумот од n и N₁

Хипергеометриската распределба, како и биномната распределба, е прекината и претставува цело семејство на распределби. Секој член на оваа фамилија е детерминиран со три параметри: N, N₁ и n. Заради поедноставување на формулата P=N₁/N (учество на успесите во масата), аритметичката средина (M_x= E(X)) и стандардното отстапување на хипергеометриската распределба, ќе се пресметаат врз основа на следниве формули:

Хипергеометриската распределба, како и биномната, имаат иста аритметичка средина, но стандардното отстапување на хипергеометриската распределба е различно, бидејќи се множи со изразот √((N-n)/(N-1)), кој патем се нарекува поправен фактор за конечна маса.. Отстапувањата на двете распределби нема да се разликуваат доколку поправниот фактор е близу до единица, т.е ако примерокот има мал број елементи на популацијата. Планирањето на експериментот на изборот на примерокот е подобро да се изведува со биномната распределба, бидејќи пресметувањето на хипергеометриската распределба е покомплицирано. Поради тоа, експериментот мора да се однесува на бесконечна популација или пак треба да се земе примерок со повторување или бројот на елементите да биде помал од 5% од големината на популацијата.

Примери

1° Доколку во еден магацини за резервни делови има n елементи, од кои М исправни и N-M неисправни.Треба на случаен начин да избереме n елементи од магацинот.Ако изборот на резервни делови се врши со враќање на елементите пред следното извлекување,тогаш случајната променлива X која го означува бројот на неисправни елементи помеѓу n избраните има биномна распределба. Меѓутоа, ако резервни делови не се враќаат во кутијата во која се избираат,тогаш составот на елементите во магацинот се менува пред секој нов избор, што значи се резултира со избор на независни настани. Потребно е да се пронајде распределба на случајна променлива X која означува број на неисправни делови меѓу n неизбрани без враќање,каде што n≤N. Претпоставката е дека секоја n комбинација на елементи во магацинот има еднаква веројатност да биде избрана. Бројот на сите можни избори на n елементи во магацинот со N елементи е еднаква на (N/n) Пожелни се оние исходи кои содржат x ispravni и n-x неисправни. Термините на случајната променлива X се нарекуваат Хипергеометриска распределба. Бидејќи x не може да биде поголемо од n или M,тогаш мора да важи правилото x≤ min { n,M }. Исто така мора да биде x≥0 i N- M≥n-x, каде што се добива x≥ max {M+n-N } Доколку x се наоѓа во границата max {O,M+n-N}≤x≤ min {n,M} Ако N е големо, а n мало законот за хипергеометриска распределба (X=x) има тенденција кон биномната распределба и во тој случај не постои речиси никаква разлика ако се избере мал број на елементи со или без враќање од целокупниот број на елементи.

2° Доколку имаме еден производствен процес во кој за 60 минути се произведуваат 100 дискови за определен сметач. Заради намалување на производствените трошоци процесот го следиме врз основа на примерок од 10 елементи.Да претпоставиме дека во тие 60 минути 8 произведени дискови биле исправни.Колку изнесува веројатноста дека примерокот од 10 елементи ќе содржи точно 2 неисправни и 8 неисправни дискови? Оваа веројатност можеме да ја добиеме преку користење на хипергеометриската распределба, бидејќи масата е конечна,а големината на примерокот спрема големината на масата изнесува (10/100)=0,1 или 100%.Следува решение на задачата :

$P(X=2)={\frac {{\binom {8}{2}}{\binom {92}{8}}}{\binom {100}{10}}}={\frac {{\frac {8!}{2!6!}}\cdot {\frac {92!}{8!84!}}}{\frac {100!}{10!90!}}}=0,\!15056$

Наводи

1. Ристески Славе, Тевдовски Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет - Скопје.

2. http://www.scribd.com/doc/94814154/Modeli-prekidnih-rasporeda Архивирано на 24 мај 2013 г.

3. Paul Newbold (2007): „Statistics for business and economics“.

4. Statistical quality control; 1999; Johannes Ledolter & Claude W. Burrill