Квадратен корен од 3

	Список на природни броеви \| Ирационален број ( 3 ); √ 2; √ 3; √ 5; φ; д; π;
Бинарен систем	1.10111011011001111010…
Децимален систем	1.7320508075688772935…
Хексадецимален систем	1.BB67AE8584CAA73B…
Верижна дропка

Квадратен корен од 3 — позитивен реален број кој, кога ќе се помножи со себе, го дава бројот 3. Поточно, тој се нарекува главен квадратен корен од 3, за да се разликува од негативниот број со исто својство. Се означува со √3.

Квадратниот корен од 3 е ирационален број. Познат е и како Теодорова константа, именувана по Теодор Киренски, кој ја докажал неговата ирационалност.

Првите шеесет цифри од неговото децимално проширување се:

1,73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580… (низа A002194 во OEIS)

Од декември 2013 година, нејзината бројна вредност во децимални броеви е пресметана најмалку на десет милијарди цифри.^[1]

Дропката 9756 ( 1,732.142.857...) за квадратен корен од три може да се користи како приближна вредност. И покрај тоа што има именител од само 56, тој се разликува од точната вредност за помалку од110.000 (приближно 9,2⋅10^-5). Заокружената вредност 1,732 е точна до 0,01% од стварната вредност.

Архимед пријавил $(1351780) 2 > 3 > (265153) 2$ ^[2] со точност од 1608400 (шест децимални места) и 223409 (четири децимални места) соодветно.

Може да се изрази како верижна дропка [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (низа A040001 во Енциклопедија на низи цели броеви на мрежата), проширена на десната страна. Значи, точно е да се каже:

{\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a_{22}}{a_{12}}}-1

тогаш кога $n\to \infty$ :

{\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a_{22}}{a_{12}}}-1

Може да се изрази преку обопштена верижна дропка како

[2;-4,-4,-4,...]=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\ddots }}}}}}

што е [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] оценето на секој друг член.

Следниве вгнездени низи квадратни изрази конвергираат кон √3:

\!\ {\sqrt {3}}=2-2\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}={\frac {7}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}.

Доказ на ирационалноста

Овој доказ за ирационалност за √3 го користи методот на Пјер де Ферма за бесконечно потекло:

Да претпоставиме дека √3 е рационален и да се изрази во најнизок можен начин (т.е. како целосно намалена дропка) како $m n$ за природните броеви $m$ и $n$ .

Затоа, множењето со 1 ќе даде израз еднаков на:

{\frac {m({\sqrt {3}}-q)}{n({\sqrt {3}}-q)}}

каде што $q$ е најголемиот цел број помал од √3. Треба да се има на ум дека и броителот и именителот се множат со број помал од 1.

Користејќи го ова и множејќи ги и броителот и именителот, добиваме:

{\frac {m{\sqrt {3}}-mq}{n{\sqrt {3}}-nq}}

Следи дека $m$ може да се замени со $\sqrt 3 n$ :

{\frac {n{\sqrt {3}}^{2}-mq}{n{\sqrt {3}}-nq}}

Потоа √3 може да се замени со $m n$ во именителот:

{\frac {n{\sqrt {3}}^{2}-mq}{n{\frac {m}{n}}-nq}}

Квадратот од √3 може да се замени со 3. Како $m n$ се множи со $n$ , нивниот производ еднаков е на $m$ :

{\frac {3n-mq}{m-nq}}

Тогаш √3 може да се изрази со пониски изрази од $m n$ (бидејќи првиот чекор ги смали големините на броителот и именителот, а следните чекори не ги променија) како $3 n - mq m - nq$ , што е спротивно на хипотезата дека $m n$ е најнизок.^[3]

Алтернативен доказ за ова е претпоставката дека $\sqrt 3 = m n$ со $m n$ потполно сведена дропка:

Со множење со $n$ на двете страни, а потоа со квадрирање се добива:

3n^{2}=m^{2}.

Бидејќи левата страна е делива со 3, така е и десната страна, што изискува $m$ да се дели со 3. Тогаш $m$ може да се изрази како $3 k$ :

3n^{2}=(3k)^{2}=9k^{2}

Според тоа, со делење на двете страни со 3 се добива:

n^{2}=3k^{2}

Бидејќи десната страна е делива со 3, таква е и левата страна, така што и $n$ е делив со 3. Значи, бидејќи и $n$ и $m$ се делат со 3, тие имаат заеднички делител, и $m n$ не е потполно сведена дропка, што е спротивно на изворната премиса.

Геометрија и тригонометрија

Висината на рамностран триаголник со раб со должина 2 еднаква е на √3. (Еквивалентно со подолгата катета на 30-60-90 триаголник со хипотенуза еднаква на 2.)

Дијагоналата на единичната коцка е √3 .

Оваа проекција на Билински на додекаедар е ромб со дијагонален однос √3.

Квадратен корен од 3 може да се најде како должина на висината на рамностран триаголник со страна 2.

Должината на просторната дијагонала на единична коцка е √3.

Ако рамностран триаголник со страни со должина 1 се подели на два еднакви дела со делење на внатрешниот агол за да се направи прав агол со едната страна, правиот агол на хипотенузата на триаголникот е со должина еден, а страните се со должина 12 и √32 Од ова, тригонометриската функција на тангентата од 60° е еднаква на √3, а синусот од 60° и косинусот од 30° се еднакви√32

Квадратниот корен од 3 се појавува и во алгебарските изрази за разни други тригонометриски константи, вклучувајќи го^[4] синусот од 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° и 87°.

Тоа е растојанието помеѓу паралелните страни на правилен шестаголник со страни со должина 1. На комплексна рамнина, тоа растојание е изразено како $i \sqrt 3$ споменато подолу.

Vesica piscis има однос на главната оска со помалата оска еднаков на 1: √3, што може да се покаже со изградба на два рамнострани триаголници во неа.

Квадратен корен од −3

Со множење на √3 со имагинарна единица се добива квадратен корен од -3, што е имагинарен број. Поточно,

{\sqrt {-3}}=\pm {\sqrt {3}}i

(види квадратен корен на негативни броеви). Тоа е цел Ајзенштајнов број. Имено, тој се изразува како разлика на два нереални кубни корени од 1 (кои се Ајзенштајнови цели броеви).

Други намени

Енергетика

Во електроенергетиката, напонот помеѓу две фази во трифазен систем е еднаков на √3 пати од линискиот неутрален напон. Тоа е затоа што било кои две фази се оддалечени 120°, а две точки на круг од 120 степени се одделени со √3 пати од полупречникот (види примери од геометрија погоре).

Поврзано

Наводи

↑ Łukasz Komsta. „Computations | Łukasz Komsta“. komsta.net. Архивирано од изворникот на 2016-11-04. Посетено на 24 септември 2016.
↑ Knorr, Wilbur R. (1976), „Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation“, Archive for History of Exact Sciences, 15 (2): 115–140, doi:10.1007/bf00348496, JSTOR 41133444, MR 0497462.
↑ Grant, M.; Perella, M. (јул 1999). „Descending to the irrational“. Mathematical Gazette. 83 (497): 263–267. doi:10.2307/3619054. Проверете ги датумските вредности во: |date= (help)
↑ Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds

Литература

S., D.; Jones, M. F. (1968). „22900D approximations to the square roots of the primes less than 100“. Mathematics of Computation. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
Uhler, H. S. (1951). „Approximations exceeding 1300 decimals for √3, 1√3, sin( $π$ 3) and distribution of digits in them“. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (Revised. изд.). London: Penguin Group. стр. 23.

Надворешни врски

Теодорова константа на Math World
[1] Кевин Браун
[2] Е.Б. Давис

[1] Łukasz Komsta. „Computations | Łukasz Komsta“. komsta.net. Архивирано од изворникот на 2016-11-04. Посетено на 24 септември 2016.

[2] Knorr, Wilbur R. (1976), „Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation“, Archive for History of Exact Sciences, 15 (2): 115–140, doi:10.1007/bf00348496, JSTOR 41133444, MR 0497462.

[Grant-3] Grant, M.; Perella, M. (јул 1999). „Descending to the irrational“. Mathematical Gazette. 83 (497): 263–267. doi:10.2307/3619054. Проверете ги датумските вредности во: |date= (help)

[4] Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds

[1]

[2]

[3]

[4]