Делење со нула

Во математиката, делењето со нула е делење во кое делителот (именителот) е еднаков на нула . Таквата поделба може формално да се изрази како a0, каде што a е деленик (броител). Во обичната аритметика, изразот нема смисла, бидејќи не постои број, кој при множење со 0 дава a (претпоставувајќи a ≠ 0) и затоа делењето со нула е недефинирано. Бидејќи секој број помножен со нула е еднаков на нула, изразот 00 исто така е недефиниран; кога е во граничен облик, е во неодреден облик. Низ историјата, еден од најраните извори на математичката неповеќекратност на одредувањето на вредноста на поимот a0 е критиката на Џорџ Беркли од 1734 година за инфинитиземално сметање во Аналитичарот („духови на напуштени вредности“).^[1]

Постојат математички структури каде што a0 е дефинирано за некои a, како на пример на Римановата сфера и проективно продолжена реална линија, но таквите структури не ги задоволуваат ниту нормалните аритметички правила (аксиома на полето).

Во информатиката, делењето со нула може да предизвика програмерска грешка. Излезот зависи од програмерската околина и видот на бројот (т.е. подвижна запирка, цел број): може да испише позитивен или негативен бесконечност според стандардот IEEE 754 за подвижна запирка, може да исфрли исклучоци, да произведе порака за грешка, да ја прекине програмата, испише посебна вредност NaN ^[2] или да колабира.

Алгебра

Четирите основни операции - собирање, одземање, множење и делење - на природните броеви резултираат со различни проширувања на тоа множество. На пример, ако сакаме да одземеме кој било природен број од друг, ни треба ново продолжување на множеството природни броеви, сега наречени цели броеви, каде што се вклучени и негативните цели броеви. Меѓутоа, за да можеме да поделиме кои било два броја, мора дополнително да го прошириме добиеното множество во збир на рационални броеви. Како што ги прошируваме новите и новите множества, треба да внимаваме „проширените операции“ да не даваат различни резултати на истите стари броеви. Со други зборови, бидејќи делењето со нула нема никакво значење (тоа е недефинирано) во множеството цели броеви, ова мора да остане точно дури и кога ќе го прошириме ова множество на реални или сложени броеви.

Како што реалноста на броевите се проширува за да вклучи повеќе операции, нивното значење исто така се менува. Кај целите броеви, одземањето повеќе не е основна операција, туку само собирање на реципрочното.^[3] Делењето кај рационалните броеви повеќе не е основна операција, бидејќи може да се замени со множење на број. Кога ќе размислиме, прашањето од „Зошто не можеме да делиме со нула?“ променето во „Зошто рационалниот број не може да има именител нула?“ Одговорот на ова изменето прашање вклучува увид во самата дефиниција на рационалните броеви.

Во современиот дизајн на полето на реални броеви, рационалните броеви делуваат како среден чекор во развојот кој се заснова на теоријата на множества. Природните броеви (со нула) прво се ставаат на аксиоми, како што се Пеановите аксиоми, но потоа ова се проширува на прстенот од цели броеви. Следниот чекор е да се дефинираат рационални броеви, кои можат да се дефинираат само со множества и претходно дефинираните основни операции, а тоа се собирање, множење и цели броеви. Ако започнеме со множеството подредени парови цели броеви, ${(a, b)$ } каде $b \neq 0$ , можеме да дефинираме бинарна операција на ова множество со $(a, b) ≃ (c, d)$ ако и само ако $ad = bc$ Оваа релација е еквивалентна релација, а нејзините класи на еквивалентност се рационални броеви. Формалниот доказ наведува дека ова е еквивалентна врска со условот втората координата да не е еднаква на нула (да се условува транзитивноста).^[4] ^[5] ^[6]

Горенаведеното објаснување е премногу апстрактно и техничко за многу употреби, но ако ги претпоставиме постоењето и својствата на рационалните броеви, како што обично се прави во елементарната математика, „причината“ за неделивоста со нула е скриена. Но, можеме да дадеме (помалку строг) облик на објаснување:

Од својствата на бројните системи што ги користиме (целобројни, рационални, реални броеви), за $b \neq 0$ и $a b = c$ важи $a = b \times c$ . Ако претпоставиме дека $a 0$ е бројот $c$ , тогаш треба да важи $a = 0 \times c = 0$ . Но, тогаш бројот $c$ може да се определи со равенката $0 = 0 \times c$ , која е задоволена со кој било број, така што не можеме да му доделиме вистинска нумеричка вредност на изразот $00$ .^[7]

Делењето како инверзија на множењето

Концептот што го објаснува делењето во алгебрата е дека делењето е инверзија на множењето. На пример, ^[8]

{\frac {6}{3}}=2

бидејќи бројот 2 е вредноста за непознатата величина за да равенката:

?\times 3=6

биде точна. Но, изразот:

{\frac {6}{0}}=\,x

треба да има вредност што би ја задоволила равенката:

x\times 0=6.

Но, секој број помножен со 0 е еднаков на 0, така што тука нема број за да се реши оваа равенка.

На изразот:

{\frac {0}{0}}=\,x

потребна му е вредноста во равенката:

x\times 0=0.

Повторно, секој број помножен со 0 е еднаков на 0, така што овде секој број секогаш ја решава равенката наместо еден конечен резултат што може да се смета како вредност на изразот 0/0.

Накратко, не можеме да доделиме една вредност на дропка чиј именител е 0, па вредноста е недефинирана.

Математички заблуди

Голема причина да не се дозволи делење со нула е тоа што ако се дозволи делење ќе произведе многу апсурдни резултати (математички заблуди). Кога работиме со нумерички величини, лесно е да се види кога правиме нелегален обид да се дели со нула. Да ја погледнеме следната пресметка.

Со претпоставките:

{\begin{aligned}0\times 1&=0,\\0\times 2&=0,\end{aligned}}

важи следново:

0\times 1=0\times 2.

Ако двете страни се поделат со нула се добива:

{\begin{aligned}{\frac {0\times 1}{0}}&={\frac {0\times 2}{0}}\\[6px]{\frac {0}{0}}\times 1&={\frac {0}{0}}\times 2.\end{aligned}}

Поедноставувајќи, добиваме:

1=2.

Заблудата овде е претпоставката дека делењето на 0 со 0 е правилна операција со исти својства како делењето со други броеви.

Можно е прикриено да се користи делење со нула во алгебарски аргумент,^[9] што резултира со невалидни докази, како што се $1 = 2$ : ^[7]

Нека

1 = x

.

Множиме со

x

па добиваме:

x=x^{2}.

Одземаме

1

од двете страни и добиваме:

x-1=x^{2}-1.

Ги делиме двете страни со

x - 1

{\begin{aligned}{\frac {x-1}{x-1}}&={\frac {x^{2}-1}{x-1}}\\[6pt]&={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}},\end{aligned}}

кога ќе се поедностави се добива

1=x+1.

Бидејќи

x = 1

, добиваме

1=1+1=2.

Овде заблудата се јавува затоа што делевме со $x - 1 = 0$ кога $x = 1$ .

Историски грешки

На 21 септември 1997 година, делењето со нула во системот „Remote Data Base Manager“ на бродот УСС Јорктаун (CG-48) ги срушил сите уреди во мрежата, предизвикувајќи пад на целата мрежа.^[10] ^[11]

Поврзано

Асимптота

Наводи

↑ Cajori, Florian (1929), „Absurdities due to division by zero: An historical note“, The Mathematics Teacher, 22 (6): 366–368, JSTOR 27951153
↑ „Perl BigInt documentation“. Perl 5 Porters. Архивирано од изворникот на 26 September 2019. Посетено на 1 March 2020.
↑ Klein 1925
↑ Schumacher 1996
↑ Hamilton 1982
↑ Henkin и др. 2012
↑ ^7,0 ^7,1 Bunch 1997
↑ Prindle, Anthony; Prindle, Katie (2009). E-Z Math (revised. изд.). Barron's Educational Series. стр. 35. ISBN 978-0-7641-4132-4. Extract of page 35
↑ Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. New York: Oxford University Press. стр. 68–75. ISBN 978-0-19-514237-2.
↑ „Sunk by Windows NT“. Wired News. 1998-07-24.
↑ William Kahan (14 October 2011). „Desperately Needed Remedies for the Undebuggability of Large Floating-Point Computations in Science and Engineering“ (PDF).

Надворешни врски

Ben Goldacre (2006-12-07). „Maths Professor Divides By Zero, Says BBC“.
To Continue with Continuity Архивирано на 21 септември 2019 г. Metaphysica 6, pp. 91–109, a philosophy paper from 2005, reintroduced the (ancient Indian) idea of an applicable whole number equal to 1/0, in a more modern (Cantorian) style.

[1] Cajori, Florian (1929), „Absurdities due to division by zero: An historical note“, The Mathematics Teacher, 22 (6): 366–368, JSTOR 27951153

[2] „Perl BigInt documentation“. Perl 5 Porters. Архивирано од изворникот на 26 September 2019. Посетено на 1 March 2020.

[3] Klein 1925

[4] Schumacher 1996

[5] Hamilton 1982

[6] Henkin и др. 2012

[#1-7] 7,0 ^7,1 Bunch 1997

[8] Prindle, Anthony; Prindle, Katie (2009). E-Z Math (revised. изд.). Barron's Educational Series. стр. 35. ISBN 978-0-7641-4132-4. Extract of page 35

[Kaplan-9] Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. New York: Oxford University Press. стр. 68–75. ISBN 978-0-19-514237-2.

[10] „Sunk by Windows NT“. Wired News. 1998-07-24.

[11] William Kahan (14 October 2011). „Desperately Needed Remedies for the Undebuggability of Large Floating-Point Computations in Science and Engineering“ (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]