Трилатерација

Трилатерација – процес на одредување на апсолутната или релативната позиција на некоја точка со помош на мерење на растојанија користејќи ја геометријата на кругот, сферата или триаголникот. Трилатерацијата има практична примена во геодезијата, навигацијата, вклучувајќи го и глобалниот систем за позиционирање. Треба да се разликува од триангулацијата, каде истиот резултат се постигнува со мерење агли.

Трилатерацијата е особено едноставна во рамнина (дводимензионална геометрија). Позицијата на бараната точка се наоѓа во пресекот на двете кружници одредени со центрите А и В (точки со познати координати) и нивните полупречници. Се забележува дека пресекот на кружниците има две точки, така што бараната точка не може еднозначно да биде одредена со две мерења, туку е потребно и трето (со кое се отфрла едната од двете пресечни точки).

Во тридимензионалната геометрија (геометрија во простор), позицијата на бараната точка се наоѓа во пресекот на три сфери (пресекот на две сфери е кружница, пресекот на оваа кружница и третата сфера се две точки). Како и кај дводимензионалните проблеми решението не може да биде еднозначно одредено со три мерења, туку е потребно и четврто со кое се отфрла една од двете пресечни точки.

Дополнителното мерење при трилатерацијата (трето мерење во рамнина и четврто мерење во простор) може да се искористи за анализа на грешката на трилатерација (на пример така се добива полупречникот на грешка на глобалниот систем за позиционирање). Со секое дополнително мерење можно е дополнително да се смали грешката на трилатерација.

Пример на трилатерација во рамнина

Проблемот може да се поедностави без губење на општоста така што центарот на првата кружница се постави во центарот на координатниот систем, додека x-оската погодно се одбира така што двата центра лежат на неа. Во тој случај равенките на кружниците гласат:

r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}

r_{2}^{2}=(x-d)^{2}+y^{2}

каде d е растојанието меѓу центрите на кружниците. Со одземање на втората равенка од првата и решавање по x се добива:

x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2d}}

Со замена на оваа вредност за x во првата равенка се добиваат две можни вредности на y:

y=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-{\frac {(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2})^{2}}{4d^{2}}}}}

Трилатерација

Пример на трилатерација во рамнина

Поврзано