Список на лимеси

Ова е список на лимеси на вообичаени функции како што се елементарните функции. Во оваа статија, поимите a, b и c се константи.

Лимеси на општи функции

Дефиниции на лимеси и сродни концепти

$\lim _{x\to c}f(x)=L$ ако и само ако $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$.

Ова е (ε, δ)-дефиниција на гранична вредност.

Горниот и долниот лимес на низата се дефинирани како

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)$ и $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)$.

За функција, $f(x)$, се вели дека е континуирана во точка, c, ако

$$\lim _{x\to c}f(x)=f(c).$$

Операции на еден познат лимес

Ако $\lim _{x\to c}f(x)=L$ тогаш:

• $\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a$
• $\lim _{x\to c}\,af(x)=aL$
• $\lim _{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}$ ако L не е еднаков на 0.
• $\lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}$ ако n е позитивен цел број
• $\lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}$ ако n е позитивен цел број, а ако n е парен, тогаш L > 0.

Општо земено, ако g (x) е континуирана во L и $\lim _{x\to c}f(x)=L$ тогаш

• $\lim _{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)$

Операции на два познати лимеси

Ако $\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}$ и $\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$ тогаш:

• $\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}$
• $\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}$
• $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ ако }}L_{2}\neq 0$

Лимеси кои вклучуваат изводи или инфинитиземални промени

Во овие граници, бесконечно малата промена $h$ често се означува $\Delta x$ или $\delta x$. Ако $f(x)$ е диференцијабилна во $x$ ,

• $\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)$. Ова е дефиницијата за извод. Сите правила за вадење извод, исто така, може да се дефинираат како правила што вклучуваат лимеси. На пример, ако g ( x ) е диференцијабилна во x ,
  • $\lim _{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)$. Ова е правило за извод од сложена функција.
  • $\lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. Ова е правилото за производ.
• $\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{1/h}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)$
• $\lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1/h}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)$

Ако $f(x)$ и $g(x)$ се диференцијабилни во отворен интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c, и $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ или }}\pm \infty$, може да се користи Лопиталовото правило:

• $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

Нееднаквости

Ако $f(x)\leq g(x)$ за сите x во интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c, и лимесите на $f(x)$ и $g(x)$ постојат во c, тогаш

$$\lim _{x\to c}f(x)\leq \lim _{x\to c}g(x)$$

Ако $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$ и $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ за сите x во отворен интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c ,

$$\lim _{x\to c}g(x)=L.$$

Ова е познато како теорема на стискање. Ова се однесува дури и во случаите кога f ( x ) и g ( x ) добиваат различни вредности на c, или се дисконтинуирани при c.

Полиноми и функции во облик x^a

• $\lim _{x\to c}a=a$

Полиноми по x

• $\lim _{x\to c}x=c$
• $\lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b$
• $\lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}$ ако n е позитивен цел број
• $\lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{не постои}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}$

Генерално, ако $p(x)$ е полином тогаш, според континуитетот на полиномите,

$$\lim _{x\to c}p(x)=p(c)$$

Ова важи и за рационалните функции, бидејќи тие се континуирани во нивните домени.

Функции во облик x^a

• $\lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.$ Посебно,
  • $\lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}$
• $\lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}$. Посебно,
  • $\lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ за кое било }}a>0$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty$
• $\lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{ако }}n{\text{ е непарен}}\\+\infty ,&{\text{ако }}n{\text{ е парен}}\end{cases}}$
• $\lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ за кое било реално }}a$

Експоненцијални функции

Функции во облик a^g(x)

• $\lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}$, поради континуитетот на $e^{x}$
• $\lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}$
• $\lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}$
• $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{не постои}},&a<0\end{cases}}$

Функции во облик x^g(x)

• $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1$

Функции во облик f(x)^g(x)

• $\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}$
• $\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$
• $\lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}$
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}$
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}$
• $\lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}$. Оваа граница може да се изведе од оваа граница.

Суми, производи и композити

• $\lim _{x\to 0}xe^{-x}=0$
• $\lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0$
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},$ за сите позитивни а.
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1$
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a$

Логаритамски функции

Природни логаритми

• $\lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c$, поради континуитетот на $\ln {x}$. Посебно,
  • $\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$
  • $\lim _{x\to \infty }\log x=\infty$
• $\lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a$. Оваа граница произлегува од Лопиталовото правило.
• $\lim _{x\to 0}x\ln x=0$, оттука $\lim _{x\to 0}x^{x}=1$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0$

Логаритми на произволни основи

За b > 1,

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty$

За b < 1,

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty$

И двата случаи може да се обопштат на:

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty$

каде $F(x)=2H(x-1)-1$ и $H(x)$ е Хевисајдовата функција

Тригонометриски функции

Ако $x$ се изразува во радијани:

• $\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$
• $\lim _{x\to a}\cos x=\cos a$

И двата овие лимеси произлегуваат од континуитетот на sin и cos.

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$. Или, општо,
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1$, за не еднаков на 0.
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a$
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$, за b не е еднакво на 0.
• $\lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{x}}=0$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$
• $\lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty$, за цел број n.
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1$. Или, општо,
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{ax}}=1$, за не еднаков на 0.
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$, за b не е еднакво на 0.
• $\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \sin \cdots \sin(x_{0})} _{n}=0$, каде што x₀ е произволен реален број.
• $\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \cos \cdots \cos(x_{0})} _{n}=d$, каде што d е Дотиев број. x₀ може да биде кој било произволен реален број.

Суми

Општо земено, секоја бесконечна серија е граница на нејзините парцијални збирови. На пример, аналитичката функција е границата на нејзината Тејлорова серија, во нејзиниот радиус на конвергенција.

• $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\infty$. Ова е познато како хармониска серија.
• $\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n\right)=\gamma$. Ова е Ојлер-Маскерониева константа.

Забележителни посебни граници

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$
• $\lim _{n\to \infty }\left(n!\right)^{1/n}=\infty$. Ова може да се докаже со разгледување на нееднаквоста $e^{x}\geq {\frac {x^{n}}{n!}}$ на $x=n$.
• $\lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi$. Ова може да се изведе од Виетовата формула за π.

Ограничувачко однесување

Асимптотски еквиваленции

Асимптотските еквиваленции, $f(x)\sim g(x)$, се вистинити ако $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$. Затоа, тие исто така може да се преформулираат како лимеси. Некои значајни асимптотски еквиваленции се:

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x/\ln x}{\pi (x)}}=1$, поради теоремата за прости броеви, $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$, каде π(x) е функција на распределба на простите броеви.
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{n!}}=1$, поради Стирлинговата формула, $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$.

Нотација големо О

Однесувањето на функциите опишани со ноцаија големо O може да се опише и со лимеси. На пример

• $f(x)\in {\mathcal {O}}(g(x))$ ако $\limsup _{x\to \infty }{\frac {|f(x)|}{g(x)}}<\infty$