Хевисајдова функција

Хевисајдова функцијата (исто така наречена единична откскочна функција), именувана по Оливер Хевисајд — прекинувачка функција која има вредност нула за негативните вредности на аргументот и еден за позитивните вредности на аргументот:

Хевисајдовата функција е прикажана со конвенција дека вредноста на функцијата за =0 е еднаква на 0,5

$u(x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x>0\end{cases}}$

Функцијата се користи во математиката на системи за управување и обработка на сигнали за да претставува сигнал кој ја менува состојбата (се вклучува или исклучува) во одредено време и останува во таа состојба бесконечно долго.

Хевисајдовата функцијата претставува функција на распределба на случајна променлива која речиси сигурно има вредност од 0.

Хевисајдовата функција е интеграл на Дираковата делта функција.

$u(x)=\int _{-\infty }^{x}{\delta (t)}dt$

Не е усвоена единствена дефиниција за вредноста (0). Некои автори даваат (0) = 0, некои (0) = 1. Различни вредности имаат смисла во различни толкувања на Хевисајдовата функција. (0) = 1/2 е можеби најприфатената вредност,^{[се бара извор]} бидејќи ја максимизира симетријата на функцијата и станува целосно конзистентна со сигнувм функцијата. Ова нè води до следнава дефиниција:

$u(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}$

$u(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)$

Често е корисна и интегралната претстава на отксочната функција:

$u(x)=\lim _{\epsilon \to 0}-{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\epsilon }e^{-ix\tau }d\tau$

Дискретен облик

Можеме да дефинираме и алтернативен облик на единичната отскочна функцијата за дискретна променлива:

$u[n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases}}$

каде n е цел број.

Оваа функција е кумулативна сума на Кронекеровата делта функција:

$u[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,$

при што

$\delta [k]=\delta _{k,0}\,$

функција на дискретен единичен импулс.