Виетова формула — формула во математиката именувана по францускиот математичар Франсоа Виет . Тоа е следнава претстава на математичката константа π во форма на бесконечен производ:
2
π
=
2
2
⋅
2
+
2
2
⋅
2
+
2
+
2
2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }
Изразот од десната страна на равенката треба да се толкува како гранична вредност
lim
n
→
∞
∏
i
=
1
n
a
i
2
=
2
π
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}={\frac {2}{\pi }}}
каде
a
n
=
2
+
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}}
a
1
=
2
{\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}
По средувањето, можно е да се добие формулата за <span typeof="mw:Entity" id="mwGA">π</span> во облик:
lim
n
→
∞
2
n
+
1
2
−
2
+
2
+
2
+
⋯
+
2
⏟
n
=
π
{\displaystyle \lim _{\mathbf {n} \to \infty }2^{\mathbf {n} +1}{\sqrt {2-\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{\mathbf {n} }}}\;=\;\pi }
Со користење на формулата за синус на двоен агол:
sin
2
x
=
2
sin
x
⋅
cos
x
{\displaystyle \,\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x}
прво треба да се докаже еднаквоста:
sin
(
2
n
x
)
2
n
sin
x
=
∏
i
=
0
n
−
1
cos
(
2
i
x
)
{\displaystyle {{\sin(2^{n}x)} \over {2^{n}\sin x}}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos(2^{i}x)}
што важи за сите позитивни цели броеви n . Ако претпоставиме дека x = y/2n и ако двете страни на равенката се поделени со cos (y /2) се добива:
sin
y
cos
(
y
2
)
⋅
1
2
n
sin
(
y
2
n
)
=
∏
i
=
1
n
−
1
cos
(
y
2
i
+
1
)
.
{\displaystyle {{\sin y} \over {\cos({y \over 2})}}\cdot {1 \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).}
Со повторна употреба на формулата за синус на двоен агол sin y = 2sin(y /2) cos(y /2) добиваме:
2
sin
(
y
2
)
2
n
sin
(
y
2
n
)
=
∏
i
=
1
n
−
1
cos
(
y
2
i
+
1
)
.
{\displaystyle {{2\sin({y \over 2})} \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).}
Ако го замениме y со π ја добиваме еднаквоста:
2
2
n
sin
(
π
2
n
)
=
∏
i
=
2
n
cos
(
π
2
i
)
.
{\displaystyle {2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=2}^{n}\cos \left({\pi \over {2^{i}}}\right)\ .}
Останува да се поврзат факторите од десната страна на оваа равенка со соодветниот an . Ако сега се користи формулата за косинус на половина агол,
2
cos
(
x
/
2
)
=
2
+
2
cos
x
,
{\displaystyle 2\cos(x/2)={\sqrt {2+2\cos x}},}
се добива дека
b
i
=
2
cos
(
π
2
i
+
1
)
{\displaystyle b_{i}=2\cos \left({\pi \over {2^{i+1}}}\right)}
b
i
+
1
=
2
+
b
i
{\displaystyle \,b_{i+1}={\sqrt {2+b_{i}}}}
b
1
=
2
cos
(
π
4
)
=
2
=
a
1
{\displaystyle b_{1}=2\cos \left({\pi \over 4}\right)={\sqrt {2}}=a_{1}}
an = bn за сите позитивни цели броеви n .
Виетовата формула тогаш се добива кога ќе претпоставиме дека n → ∞. Овде треба да се забележи дека:
lim
n
→
∞
2
2
n
sin
(
π
2
n
)
=
2
π
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}={2 \over \pi }}
како последица на фактот што
lim
x
→
0
x
sin
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\,{x \over {\sin x}}=1}
Лопиталовото правило ).
Надворешни врски
уреди
