Поларен координатен систем

Поларен координатен систем — дводимензионален координатен систем во кој секоја точка на рамнината се определува со растојание од една фиксна точка и агол од фиксна насока. Фиксната точка (аналогно на потеклото на Декартовиот систем) е наречен пол, и полуправата од полот во фиксната насока е поларната оска. Растојанието од полот се вика радијална координата или полупречник, и аголот е аголна координата, поларен агол, или азимут.

Точки во поларен координатен систем со пол O и поларна оска L. Во зелено, точката со радијална координата 3 и аголна координата 60 степени, или (3.60°). Во сино, точката (4,210°).

Историја

Концептите на агол и полупречник веќе беа користени од античките народи од 1 милениум п.н.е.. На грчкиот астроном и астролог Хипарх (190-120 п.н.е.), создаде маса на функции за лак давајќи ја должината на лакот за секој агол, и тука се наводи за неговото користење на поларните координати во воспоставувањето на позициите на ѕвездите. Во делото „За спиралите“, Архимед ја опишува неговата Архимедова спирала, функција чиј полупречник зависи од аголот. Ова сепак, не се прошири на целиот координатен систем.

Од VIII век од нашата ера до денес, астрономите развиале методи за заокружување и пресметување на насока до Мека (Кибла) и нејзиното растојание од било кое место на Земјата.

Од IX век па до денес тие користеа сферна тригонометрија и методи за проектирање на мапа за да се утврдат овие количини точно. Пресметката е суштинско претворање на екваторските поларни координати од Мека (т.е. неговата географска ширина и должина) до неговите поларни координати во однос на систем, чија појдовен меридијан е голема кружница преку зададеното место и половите на Земјата, и чија поларна оска е линијата преку местото и нејзината антиподална точка. Постојат различни сметки на воведувањето на поларните координати, како дел од формалниот координатен систем. Целосната историја на предметот е опишана во делото Потекло на поларни координати од професорот Јулијан Ловел Кулиџ на Харвард. Грегоар де Сент-Винсент и Бонавентура Кавалиери независно ги воведоја концептите во средината на XVII век. Сен Винсент напиша за нив приватно во 1625 година и ја објави својата работа во 1647 година, додека Калавиери ја објави својата во 1635 година, а со корегирана верзија се појавува во 1653. Кавалиери првпат ги користи поларните координати за да реши еден проблем во врска со областа на Архимедовата спирала. Блез Паскал потоа ги користел поларните координати за да ја пресмета должината на параболичните лакови. Во „Метод на текови“ (напишана 1671, објавена 1736), Исак Њутн ги испитуваше трансформациите помеѓу поларните координати, коишто го водеа до „Седмиот начин; За спиралите“, и девет други координатни системи. Во списанието Acta Eruditorum (1691), Јаков Бернули се користел систем со точка на линијата, наречена пол и поларна оска соодветно. Координатите беа одредени од растојанието од полот и од аголот од поларна оска. Делото на Бернули продолжено до наоѓање на полупречникот на закривеност нод криви изразени во овие координати. Вистинскиот поим поларни координати му се припишува на Грегорио Фонтана и бил користен од страна на италијанските писатели во XVIII век . Поимот се појавил во англискиот јазик во преводот на Џорџ Пикок во 1816 на Диференцијалeн и интегралeн Калкулус на Лакроикс Диференцијални и интегрална Калкулус Алексис Клаираут беше првиот што мислеше на поларните координати во три димензии, и Леонард Ојлер беше првиот кој всушност ги развил.

Конвенции

Поларната мрежа со неколку агли прикажани во степени

Радијалните координати често се означуваат во r и аголните координати од θ или t. Аглите во поларните нотации обично се изразени во степени или радијани или (2π РАД е еднакво на 360 °). Степени традиционално се користат во навигација, геодетски, и многу се применуваат дисциплини, а радијани се почести во математиката и математичката физика. Во многу контексти, позитивна аголна координат значи дека аголот θ се мери од стрелките на часовникот од оската. Во математичката литература, поларните оска е често составен хоризонтална и покажувајќи кон десно.

Единственоста на поларни координати

Додавање било кој број на целосно вртење (360 °) на аголен координат не ја менува соодветната насока. Исто така, негативно радијална координатен е најдобро толкува како соодветните позитивни растојание мери во спротивна насока. Затоа, истата точка може да се изрази со бесконечен број на различни поларни координати (r, θ ± n × 360 °) или (-R, θ ± (2n + 1) 180 °), каде n е секој цел број. Покрај тоа, пол самата може да биде изразена како (0, θ) за секој агол θ. Каде единствена репрезентација што е потребно за било која точка, вообичаено е да се ограничи r за да не се негативни броеви (R ≥ 0) и θ на интервалот [0, 360 °) или (-180 °, 180 °] (во радијани, [0, 2π) или (-π, π]). една, исто така мора да избере единствен азимут за пол, на пример, θ = 0.

Претворање од поларни во Декартови координати

Дијаграмот ја илустрира врската помеѓу поларните и Декартовите координати.

Крива на Декартовата рамнина може да се забележи во поларни координати. овде, $y=\sin(6x)+2$ е $r=\sin(6\theta )+2$.

Двете поларни координати r и θ може да се претворат во Декартовите координати x и y со користење на тригонометриски функции синус и косинус:

$x=r\cos \theta \,$

$y=r\sin \theta \,$

На Декартовите координати x и y може да се претворат поларни координати r и θ со R ≥ 0 и θ во интервал (-π, π] од:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad$(како во Питагоровата теорема), и

$\theta =\operatorname {atan2} (y,x)\quad$(каде што atan2 е честа варијација на arctangent функција која ги зема предвид квадрант)

или

$\theta ={\begin{cases}\arctan(|{\frac {y}{x}}|)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan(|{\frac {y}{x}}|)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan(|{\frac {y}{x}}|)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\end{cases}}$

Во степени ова ќе биде од -180 ° до 180 °. Ако сакате аголот во опсегот [0, 2π) може да се добие со додавање 2π на вредноста, ако е негативен. На нула агол на потекло каде x и y се и нула е само удобен вредност, која често се избрани.

Вредноста на θ погоре е главен вредноста на комплексен број функција ARG применува до X iy, освен што ARG не ја дефинира вредноста на потекло.

Поларна равенка на крива

Равенката дефинирана на алгебарски крива изразена во поларни координати е позната како поларна равенка. Во многу случаи, како равенка едноставно може да се специфицира со дефинирање r како функција на θ. Како резултат на крива потоа се состои од точки на форма (r (θ), θ) и може да се смета како на графикот на поларните функција r.

Различни форми на симетрија може да се изведе од равенката на поларните функција r. Ако r (-θ) = r (θ) на крива ќе биде симетрична за хоризонтална (0 ° / 180 °) зраци, ако r (π - θ) = r (θ) тоа ќе биде симетрична околу вертикална (90 ° / 270 °) зраци, и ако r (θ - α) = r (θ) тоа ќе биде ротациски симетрична α стрелките на часовникот за пол-позицијата.

Поради природата на кружниот координатен систем, многу криви можат да се опишат со прилично едноставна поларна равенка, а нивната картезијанската форма е многу повеќе интригантни. Меѓу најдобрите позната на овие криви се поларните роза, Archimedian спирала, lemniscate, limaçon, и Кардиоида.

За круг, линија, и поларни зголеми подолу, се подразбира дека не постојат ограничувања на домен и опсег на крива.

Круг

Круг со равенка r(θ) = 1

Општата равенка за кружница со центар во (r₀, $\varphi$) и полупречник a е

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,$

Ова може да се поедностави на различни начини, да се приспособат на повеќе специфични случаи, како што на равенката

$r(\theta )=a\,$

за кружница со центар во пол и полупречник а Кога r₀ = a, или кога потекло лежи на кружницата, равенката станува

$r=2a\cos(\theta -\varphi )$.

Во општиот случај, равенка може да се реши за r, давајќи

$r=r_{0}\cos(\theta -\varphi )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}$

на решение со минус во предниот дел на квадратен корен даваат истата крива.

Линија

Поларна роза со равенка r(θ) = 2 sin 4θ

Радијална линии (оние што ги водат преку пол) се претставени од страна на равенката

$\theta =\varphi \,$,

каде φ е аголот на елевација на линија, а тоа е, φ = arctan m каде m е наклонот на линијата во Декартовиот координатен систем. На не-радијална линија што поминува низ радијални линија θ = φвертикално во точка (r₀, φ) има равенка

$r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi ).\,$

Не е наведено поинаку (r₀, φ) е точка во која тангентата сечат имагинарен круг на полупречник r0.

Поларна роза

поларната роза е позната математичка крива што личи на цвет, и може да се изрази како едноставен поларна равенка,

$r(\theta )=a\cos(k\theta +\varphi _{0})\,$

за било која постојано φ₀ (вклучуваќи 0). Ако k е цел број, овие равенки ќе произведе к-венчелистчето се зголеми ако k е чудно, или 2k-венчелистчето се зголеми ако k е парен. Ако k е рационално, но не и цел број, ружа-како облик може да се формираат, но со преклопување ливчиња. Имајте на ум дека никогаш овие равенки се дефинира роза со 2, 6, 10, 14, итн ливчиња. На променливата а претставува должината на ливчињата на роза.
Архимедова спирала

Едната рака на Арџимедовата спирала со равенка r(θ) = θ / 2π за 0 < θ < 6π

Архимедовата спирала е познат спирала, која беше откриена од страна на Архимед, кој исто така може да се изрази како едноставен поларна равенка. Тоа е претставена со равенката

$r(\theta )=a+b\theta .\,$

Промена на параметар А ќе се претвори во спирала, додека б контролира растојанието помеѓу рацете, која за дадена спирала е секогаш константна. На спирала Archimedean има две раце, една за θ> 0 и еден за θ <0. На две раце се без проблеми поврзани на пол. Преземање на огледало слика на една рака низ 90 ° / 270 ° линија ќе даде други рака. Оваа крива е познат како еден од првите кривини, по конусни пресеци, за да се опише во математичка трактат, и како да се биде одличен пример за една крива што најдобро се дефинира со поларна равенка.

Конусни пресеци

Елипса, прикажува полулатус ректум

А конусен пресек со еден фокусот на пол и другите некаде на 0 ° зраци (така што големи оска на конусен лежи по должината на поларните оска) е дадена со:

$r={\ell \over {1+e\cos \theta }}$

каде е е ексцентричноста и е полу-latus ректумот (на нормално растојание на фокус од главните оски на кривата). Ако е> 1, оваа равенка дефинира хипербола, ако е = 1, го дефинира парабола, а ако е <1, го дефинира елипса. На посебен случај е = 0 на вториот резултати во кругот на полупречник.

Комплексни броеви

Илустрација на комплексниот број z на комплексната рамнина

Илустрација на кпмлексен број на комплексната рамнина користејќи ја формулата на Ојлер

Секој комплексен број можи да се претстави како точка во комплексната рамнина и затоа може да се изрази со впишување или Декартови координати на точка (наречена е праавоаголна форма) или поларни координати на точка (наречени поларна форма). Комплексниот број z може да се претстави во правоаголна форма како

$z=x+iy\,$

Каде i е имагинарната единица, или алтернативно може да биде напишана во поларна форма (преку претворање на формулите погоре) како

$z=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )$

и од тука

$z=re^{i\theta }\,$

каде e е Ојлеровиот број на кој се еквивалентни на прикажаната формула. (Забележете дека оваа формула како и сите оние кои вклучуваат експоницијални агли претпоставувајќи дека аголот θ изразен во радијани). Да се конвентира помеѓу правоаголната и поларната форма на комплексен број, претворањето на формулата дадена погоре може да се искористи. За операциите множење, делење и степенување на комплексните броеви генерално многу е поедноставнон да се работи со комплексни броеви изразени во поларна форма а не во правоаголна од правилата за степенување:

• Множење:

$r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})}\,$

• Делење:

${\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})}\,$

• Степенување(Формулата на Де Мувре):

$(re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }\,$

Анализа

Сметањето во анализа може да се примени во равенки изразени во поларни координати. Аголната координата θ е изразена во радијани во овај дел, кој е конвенционален извор кога се користи сметање.

Диференцијално сметање

Користејќи x = r cos θ и y = r sin θ , може да се изведе односот помеѓу деривати во Декартови и поларни координати. За дадена функција, u(x,y), следува дека

$r{\frac {\partial u}{\partial r}}=r{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+r{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}},$

${\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \theta }},$

или

$r{\frac {\partial u}{\partial r}}=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \theta +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \theta =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},$

${\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \theta +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \theta =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.$

Оттука ги имаме следните формули

$r{\frac {\partial }{\partial r}}=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\,$

${\frac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.$

За да се најде Декартовиот наклон на тангентата на поларната крива r(θ) во некоја дадена точка, кривата прво изразена како систем од параметарски равенки.

$x=r(\theta )\cos \theta \,$

$y=r(\theta )\sin \theta \,$

Диференцирање од двете равенки во однос на полето наθ.

${\frac {dx}{d\theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \,$

${\frac {dy}{d\theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta .\,$

Делејќи ја втората равенка со првото поле на Декартовиот наклон на тангентата на кривата во точка (r(θ), θ):

${\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}.$

Интегрално сметање (должина на лак)

Должината на лакот (должина на отсечка) дефинирано од поларната функција се наоѓа од интеграцијата на кривата r(θ). Нека L ја означува должината на кривата почнувајќи од точката А до точката Б каде овие точки одговараат на θ = a и θ = b така што such that 0 < b − a < 2π. Должината на L е дадена со следниот интервал

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\theta )\right]^{2}+\left[{{dr(\theta )} \over {d\theta }}\right]^{2}}}d\theta$

Интеграло сметање (плоштина)

Нека R го означува регионот ограден со крива 'r(θ) и зраците θ = a и θ = b, каде 0 < b − a < 2π. Тогаш плоштината на R е

${\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\theta )\right]^{2}\,d\theta .$

Регионот R е заокружен на n делови (овде, n = 5).

Планиметарот, кој механички ги пресметува поларните интеграли

Овој резултат може да се најде како што следува. Прво, интервалот [a, b]е поделен на n делови, каде n е позитивен цел број. Така Δθ, должината на секој дел е еднакво на b − a (вкупната должина на интервалот) поделен со n, бројот на делови. За секој дел i = 1, 2, …, n, нека θ_i биде средина на делот и гради сектор со центарот на полот, полупречник и 'r(θi), централен агол Δθ и должина на лакот r(θi)Δθ. Плоштината на секој изграден сектор е еднаква на

$\left[r(\theta _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {\Delta \theta }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\theta _{i})\right]^{2}\Delta \theta .$

Оттука вкупната плоштина на сите сектори е

$\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\,\Delta \theta .$

Бидејќи бројот на делови n е зголемен, приближната плоштина продолжува да се подобрува. Во рокот како{nowrap|n → ∞}} збирот станува Риманов збир за некој интеграл. Механички уред кој ја пресметува површината на интегралите е планиметарот кој ја мери плоштината на рамнината од страна на трасирање: ова реплицира интеграција во поларни координати со додавање на поврзани два елементи на теоремата на Грин, претворањето на квадратен поларен интеграл во линеарен интеграл.

Поврзано

• Географски координатен систем

Наводи

• Anton, Howard; Irl Bivens, Stephen Davis (2002). Calculus (Seventh. изд.). Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8.
• Finney, Ross; George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits (1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (Single Variable Version. изд.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.CS1-одржување: повеќе имиња: список на автори (link)

Надворешни врски

• Graphing Software на Curlie (англиски)
• Coordinate Converter – converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
• Polar Coordinate System Dynamic Demo