Решавање на триаголник

Решавање триаголник значи наоѓање на преостанатите агли и страни кога е даден минимум податоци. Основни елементи на триаголник се три агли и три страни, а минимум податоци се три од тие основни податоци, од кои најмалку еден е страна. Имено, кога се знаат два агли на триаголникот тогаш може да се смета дека се знае и третиот, бидејќи збирот на агли во триаголник е секогаш ист, 180°. Меѓутоа, триаголникот не е одреден само со своите основни елементи. Може да се конструира триаголник даден со тежишната линија и две страни, или страна, висина и агол, итн.

Остроаголен триаголник

Сите три агли кај остроаголен триаголник се помали од прав агол (90 степени). При решавање на остроаголен триаголени можни се четири случаи:

дадени се три страни (ССС);
дадени се две страни и аголот меѓу нив (САС);
дадена е страна и двата агли на неа (АСА);
дадени се две страни и аголот наспроти поголемата од нив (ССА).

Тоа се истите услови кои дефинираат складност на триаголници. Ќе бидат разгледани сите горенаведени задачи и наведена барем по една формула за проверка на добиеното решение.

Задача ССС: Дадени се три страни $a,\;b,\;c$ на триаголникот. Да се најдат неговите агли.
1. начин: Косинусната теорема $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,$ го дава аголот А, бидејќи $\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.$ Синусната теорема $a:\sin A=b:\sin B$ го дава аголот B, бидејќи $\sin B={\frac {b\sin A}{a}}.$ На крајот, третиот агол С може да се најде и како суплемент (суплементарни агли се дополнуваат до 180°) на претходните два, т.е. $C=180^{o}-(A+B).$ Формулата за проверка е $a:sinA=c:\sin C.$

2. начин: Прво се пресметува полуобемот $p={\frac {a+b+c}{2}},$ потоа разликите $p-a,\;p-b,\;p-c,$ и тангенсната теорема ги дава аглите:; $\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}.$; Формулата за проверка е $A+B+C=180^{o}.$

Оваа задача има единствено решение единствено ако збировите по две од дадените страни на триаголникот се поголеми од третата страна, т.е. $a+b>c,\;b+c>a,\;c+a>b.$ Значи, ако важи т.н. нееднаквост на триаголникотот. Ако барем еден од овие услови не е исполнет, тогап воопшто нема решение.

Задача САС: Дадени се две страни $a,\;b\;(a>b)$ и аголот С. Да се најде стрната с и аглите A, B.

Решение: Косинусната теорема ја дава страната $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}}.$ Синусната теорема ги дава аглите. Од a>b следи дека аголот B е остар, па согласно тоа прво се бара $\sin B={\frac {b\sin C}{c}},$ па се бара аголот B, а потоа аголот А кој е суплементаren на аглите B, C, т.е. $A=180^{o}-(B+C).$ Формула за проверка: $a:\sin A=b:\sin B.$

Задачата има единствено решение ако $C<180^{o}.$

Задача АСА: Дадена е страната а и аглите B и C. Да се најдат страните b, c и аголот А.

Решение: Прво се наоѓа аголот $A=180^{o}-(B+C).$ Потоа, синусната теорема, дава: $b={\frac {a\sin B}{\sin A}},\;c={\frac {a\sin C}{\sin A}}.$ Формулата за проверка е $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.$ Задачата има единствено решение ако $B+C<180^{o}.$

Задача ССА: Дадени се две страни a, b и аголот А. Да се најде страната с и аглите B, C.

Решение: Синусната теорема $\sin B={\frac {b\sin A}{a}}$ го дава аголот B. Потоа, аголот С се наоѓа како суплемент на аглите А и B, т.е. $C=180^{o}-(A+B).$ На крајот, уште еднаш, синусната теорема $c={\frac {a\sin C}{\sin A}},$ ја дава страната с. Формулата за проверка е: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.$; Кога a>b тогаш $a>b\sin A,$ па $\sin B={\frac {b\sin A}{a}}<1.$ Според тоа задачата има единствено решение, бидејќи аголот В е остар независно од тоа каков е аголот А.; Кога a<b тогаш A<B. Триаголникот е правоаголен, или, ако $b\sin A<a,$ задачата има две решенија, бидејќи може да се добијат две вредности за аголот В, остар и тап агол. Третиот случај, $b\sin A>a,$ т.е. $\sin B>1,$ нема решение.; Кога a=b тогаш A<90° и B<90°. Тогаш задачата има единствено решение.

Решавање на триаголник

Остроаголен триаголник

Поврзано