Решавање на триаголник
Решавање триаголник значи наоѓање на преостанатите агли и страни кога е даден минимум податоци. Основни елементи на триаголник се три агли и три страни, а минимум податоци се три од тие основни податоци, од кои најмалку еден е страна. Имено, кога се знаат два агли на триаголникот тогаш може да се смета дека се знае и третиот, бидејќи збирот на агли во триаголник е секогаш ист, 180°. Меѓутоа, триаголникот не е одреден само со своите основни елементи. Може да се конструира триаголник даден со тежишната линија и две страни, или страна, висина и агол, итн.
Остроаголен триаголник уреди
Сите три агли кај остроаголен триаголник се помали од прав агол (90 степени). При решавање на остроаголен триаголени можни се четири случаи:
- дадени се три страни (ССС);
- дадени се две страни и аголот меѓу нив (САС);
- дадена е страна и двата агли на неа (АСА);
- дадени се две страни и аголот наспроти поголемата од нив (ССА).
Тоа се истите услови кои дефинираат складност на триаголници. Ќе бидат разгледани сите горенаведени задачи и наведена барем по една формула за проверка на добиеното решение.
- Задача ССС
- Дадени се три страни на триаголникот. Да се најдат неговите агли.
- 1. начин
- Косинусната теорема го дава аголот А, бидејќи Синусната теорема го дава аголот B, бидејќи На крајот, третиот агол С може да се најде и како суплемент (суплементарни агли се дополнуваат до 180°) на претходните два, т.е. Формулата за проверка е
- 2. начин
- Прво се пресметува полуобемот потоа разликите и тангенсната теорема ги дава аглите:
- Формулата за проверка е
Оваа задача има единствено решение единствено ако збировите по две од дадените страни на триаголникот се поголеми од третата страна, т.е. Значи, ако важи т.н. нееднаквост на триаголникотот. Ако барем еден од овие услови не е исполнет, тогап воопшто нема решение.
- Задача САС
- Дадени се две страни и аголот С. Да се најде стрната с и аглите A, B.
- Решение
- Косинусната теорема ја дава страната Синусната теорема ги дава аглите. Од a>b следи дека аголот B е остар, па согласно тоа прво се бара па се бара аголот B, а потоа аголот А кој е суплементаren на аглите B, C, т.е. Формула за проверка:
Задачата има единствено решение ако
- Задача АСА
- Дадена е страната а и аглите B и C. Да се најдат страните b, c и аголот А.
- Решение
- Прво се наоѓа аголот Потоа, синусната теорема, дава: Формулата за проверка е Задачата има единствено решение ако
- Задача ССА
- Дадени се две страни a, b и аголот А. Да се најде страната с и аглите B, C.
- Решение
- Синусната теорема го дава аголот B. Потоа, аголот С се наоѓа како суплемент на аглите А и B, т.е. На крајот, уште еднаш, синусната теорема ја дава страната с. Формулата за проверка е:
- Кога a>b тогаш па Според тоа задачата има единствено решение, бидејќи аголот В е остар независно од тоа каков е аголот А.
- Кога a<b тогаш A<B. Триаголникот е правоаголен, или, ако задачата има две решенија, бидејќи може да се добијат две вредности за аголот В, остар и тап агол. Третиот случај, т.е. нема решение.
- Кога a=b тогаш A<90° и B<90°. Тогаш задачата има единствено решение.
