Инверзна функција

Функцијата ƒ и нејзината инверзна ƒ–1. Како ƒ ја пресликува a во 3, инверзната функција ƒ–1 го пресликува 3 назад во a.

Во математиката, ако функцијата ƒ пресликува множество A во множество B, тогаш нејзината инверзна функција ƒ-1 е таква да го пресликува множеството B во множеството A и тоа така што сложената функција го пресликува секој елемент од множеството A во самиот себе. Не секоја функција има своја инверзна, онаа која има се вика инверзибилна.

На пр., ако е дадена функцијата ƒ таква што ја дава должината во милји ако е дадена должината во метри (ƒ(x) = 1,6 • x), тогаш нејзината инверзна функција g = ƒ-1 ја дава должината во метри ако е позната должината во милји (g(x) = x / 1,6).

ИнверзибилностУреди

  1. Бидејќи функцијата мора да го пресликува оригиналот само во една слика, функција која не е инјективна не може да има инверзна.
  2. Од друга страна, ако опсегот на функцијата не е идентичен на нејзиниот кодомен, тогаш за некои елементи на множеството слики нема да биде дефинирано пресликувањето ƒ-1.

Затоа може да се рече дека функцијата е инверзибилна акко е бијекција.

На пр. функцијата   не е ни инјективна (бидејќи позитивните и негативните броеви имаат иста слика), ни сурјективна (бидејќи е ранг  , а не цел кодомен  ). Истата функција, но дефинирана како   има инверзна функција  . Функцијата   има инверзна, а   нема бидејќи не е инјективна ( ).

ОсобиниУреди

СиметријаУреди

Нека id е функција на идентитетот idX = x. Тогаш важи

 

односно  .

Инверзна функција на сложена функцијаУреди

При инверзија на композиција од функции, основните функции го менуваат редоследот:

 

АвтоинверзијаУреди

Функција на идентитет е инверзна сама на себе:

 

Графичко претставувањеУреди

Функција и нејзината инверзна функција се симетрични во однос на правата  .

Извод на инверзна функцијаУреди

Ако почетната функција е диференцијабилна, тогаш за сите точки во кои   важи следната формула за извод на инверзна функција:

 

ОбележувањеУреди

Важно е да се воочи дека -1 во означувањето на инверзна функција не е ознака за експонент. Всушност   се запишува како ƒ(x)-1.

Во инфинитезималното сметање ознаката ƒ(n) означува n-ти извод на функцијата:

 

Во тригонометријата, од историски причини,   а не  , но е  , а не  . Токму за да избегне оваа непрецизност, за инверзни тригонометриски функции се користи ознаката arc, а за реципрочни потполно други имиња ( ).

ЛитератураУреди

ПоврзаноУреди