Инверзна функција

Во математиката, ако функцијата ƒ пресликува множество A во множество B, тогаш нејзината инверзна функција ƒ⁻¹ е таква да го пресликува множеството B во множеството A и тоа така што сложената функција $f\circ f^{1}$ го пресликува секој елемент од множеството A во самиот себе. Не секоја функција има своја инверзна, онаа која има се вика инверзибилна.

На пр., ако е дадена функцијата ƒ таква што ја дава должината во милји ако е дадена должината во метри (ƒ(x) = 1,6 • x), тогаш нејзината инверзна функција g = ƒ⁻¹ ја дава должината во метри ако е позната должината во милји (g(x) = x / 1,6).

Инверзибилност

Бидејќи функцијата мора да го пресликува оригиналот само во една слика, функција која не е инјективна не може да има инверзна.
Од друга страна, ако опсегот на функцијата не е идентичен на нејзиниот кодомен, тогаш за некои елементи на множеството слики нема да биде дефинирано пресликувањето ƒ⁻¹.

Затоа може да се рече дека функцијата е инверзибилна акко е бијекција.

Сурјективно но неинјективно пресликување
Инјективно но несурјективно пресликување
Бијекција

На пр. функцијата $f(x)=x^{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ не е ни инјективна (бидејќи позитивните и негативните броеви имаат иста слика), ни сурјективна (бидејќи е ранг $\mathbb {R} ^{+}$ , а не цел кодомен $\mathbb {R}$ ). Истата функција, но дефинирана како $\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ има инверзна функција ${\sqrt {x}}$ . Функцијата $f(x)=x^{3}\,\!$ има инверзна, а $f(x)=x^{3}-x\,\!$ нема бидејќи не е инјективна ( $f(0)=f(1)=0\,\!$ ).

Особини

Симетрија

Нека id е функција на идентитетот id_X = x. Тогаш важи

{\begin{aligned}f\circ f^{-1}=id_{X}\\f^{-1}\circ f=id_{Y}\end{aligned}}

односно $(f^{-1})^{-1}=f\,\!$ .

Инверзна функција на сложена функција

При инверзија на композиција од функции, основните функции го менуваат редоследот:

(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}

Автоинверзија

Функција на идентитет е инверзна сама на себе:

id_{X}^{-1}=id_{X}\,\!

Графичко претставување

Функција и нејзината инверзна функција се симетрични во однос на правата $y=x\,\!$ .

Извод на инверзна функција

Ако почетната функција е диференцијабилна, тогаш за сите точки во кои $f(x)\neq 0\,\!$ важи следната формула за извод на инверзна функција:

{\frac {d}{dy}}\left[f^{-1}(y)\right]={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}.

Обележување

Важно е да се воочи дека ⁻¹ во означувањето на инверзна функција не е ознака за експонент. Всушност ${\tfrac {1}{f(x)}}$ се запишува како ƒ(x)⁻¹.

Во инфинитезималното сметање ознаката ƒ⁽ⁿ⁾ означува n-ти извод на функцијата:

f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).

Во тригонометријата, од историски причини, $\sin ^{2}x=(\sin x)^{2}\,\!$ а не $\sin(\sin x)\,\!$ , но е $\sin ^{-1}x=\arcsin x\,\!$ , а не ${\tfrac {1}{\sin x}}$ . Токму за да избегне оваа непрецизност, за инверзни тригонометриски функции се користи ознаката arc, а за реципрочни потполно други имиња ( ${\tfrac {1}{\sin x}}=\csc x$ ).

Литература

Spivak, Michael (1994), Calculus (3. изд.), Publish or Perish, ISBN 0-914098-89-6
Stewart, James (2002), Calculus (5. изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397