Голема кружница

Голема кружница или ортодрома — пресекот на една сфера со рамнина која минува низ центарот на сферата и претставува најголемата кружница што може да се смести во сферата. Кружницата се карекува „голема“ наспроти општа („мала“) кружница, каде рамнината не минува низ центарот. Секој пречник на големата кружница се совпаѓа со пречникот на сферата, па затоа сите големи кружници имаат меѓусебно иста обиколка и ист центар како сферата. Секоја кружница во Евклидовиот простор е голема кружница на точно една сфера.

Неколку големи кружници (задебелени линии). Наклонот на двете црни кружници во однос на екваторот (сино) изнесува 55° односно 60°.

Низ секои две точки на површината на сферата минува по една голема кружница. Малиот лак на големата кружница помеѓу две точки е најмалото (површинско) растојание помеѓу нив. Во оваа смисла, малиот лак е исто што и „правата линија“ во сферната геометрија. Големите кружници се геодезиски линии на сферата.

Во повеќе димензии, големите кружници на една n-сфера се пресеците на n-сферата со две рамнини што минуваат низ почетокот во Евклидовиот простор Rⁿ⁺¹.

Геодезија

Поврзано: Геодезија

Споредба помеѓу голема кружница (ортодрома) и локсодрома.

Земјата не е совршена сфера, туку сплеснат сфероид или елипсоид, што значи дека најмалото растојание помеѓу две точки (геодезиска линија) не претставува вистинска голема кружница. Екваторскиот полупречник на Земјата изнесува околу 6378,137 км, а поларниот е околу 6356,752 км (за ~ 21,4 км помалку). Но и покрај тоа, сферниот модел се зема за прва приближност.

При исцртувањето на долгосежни воздухопловни и морепловни патишта на рамна карта (на пр. Меркаторова проекција), патиштата изгледаат закривени. Ова се јавува поради тоа што лежат на големи кружници, па затоа претставениот (исправен) пат на картата ќе биде подолг. Исклучок од ова е гномонската проекција, каде сите прави линии претставуваат големи кружници.

Ако Земјата ја земеме за сферична, меридијаните би биле големи кружници, исто како екваторот. Напоредниците (освен екваторот) не се големи кружници бидејќи се помали од екваторот; нивните центри не лежат во центарот на Земјата, туку претставуваат мали кружници. Бидејќи Земјата не е совршено сферична, екваторот (кој е голема кружница) изнесува 40.075 км, додека пак меридијанската линија север-југ (која е елипса) изнесува речиси 40.008 км. Квадратната средина на овие крајности дава пристојна приближност на просечната обиколка на големата кружница, што изнесува околу 40041,5 км.

Примери за големи кружници на небесната сфера се небесниот хоризонт, небесниот екватор и еклиптиката.

Бродовите и воздухопловите користат големи кружници кога струите и ветриштата не се значајни фактори. Така, времетраењето на летот може (приближно) да се добие според растојанието на големата кружница помеѓу два аеродрома. Освен по голема кружница, воздухопловите летаат и по други патишта, кајшто можат да ја искористат млазната струја.

За полесна пловидба, големите кружници честопати се делат на помали локсодроми, што овозможува држење на постојан курс помеѓу патните точки долж големата кружница.

Добивање на најкратки патеки

Воздухопловни патишта од Сан Франциско до Токио по најнепосредната голема кружница (горе), но следејќи ја млазната струја (долу) летајќи на исток.

За да докажеме дека малиот лак на една голема кружница е најмалото растојание помеѓу две точки на нејзината површина, применуваме варијационо сметање.

Да речеме дека ја имаме класата на сите правилни растојанија од точката p до точката q. Земаме сферни координати, така што p се совпаѓа со Северниот Пол. Секоја крива на сферата што не се сече со половите (освен можеби во крајните точки) може да се параметрира како

$\theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b$

под услов да допуштиме φ да добива производни реални вредности. Бесконечно малиот (инфинитезимален) лак во овие координати е

$ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.$

Така, должината на кривата γ од p до q е функционал на кривата даден со

$S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.$

Да напоменеме дека S[γ] е барем со должина на меридијанот од p до q:

$S[\gamma ]\geq r\int _{a}^{b}|\theta '(t)|\,dt\geq r|\theta (q)-\theta (p)|.$

Бидејќи почетната и крајната точка се непроменливи, S се сведува на минимум ако и само ако φ' = 0, така што кривата мора да лежи на меридијанот на сферата φ = φ₀ = постојана. Изразено во Декартови координати, тоа би било

$x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0$

што е рамнина низ почетокот, т.е. центарот на сферата..

Поврзано

• Геодезиска линија
• Локсодрома
• Кибла
• Голема полуоска

Надворешни врски

• Голема кружница: опис, прикази и равенки - MathWorld (англиски)
• Големи кружници на карта - правци на летање по голема кружница на карта и ја пресметува растојанието и траењето (англиски)
• Растојанија на големи кружници - графичка алатка за исцртување на големи кружници врз карти (англиски)