Декартов производ

Декартов производ или Картезијански производ — во математиката е директен производ на множества. Името го добил по францускиот математичар Декарт, благодарение на чие засновање на аналитичката геометрија била поставена основата за овој концепт.

Декартов производ A×B на множествата A={x,y,z} и B={1,2,3}

Декартов производ на две множества X (на пр. множество точки на x-оската) и Y (на пр. множеството точки на y-оската), означен како X х Y, е множество од сите можни подредени парови во кои првата компонента е елемент на множеството X, а втората компонента е елемент на множеството Y (во примерот тоа би била целата рамнина):

$A\times B=\{(x,y)|x\in A\;\wedge \;y\in B\}.$

Декартов производ од две конечни множества може да се претстави со табела, така што елементите на едното множество се распоредени во редови, а на другото во колони. Тогаш подредените парови може да се разберат како ќелии во табела, каде што секој се одредува според неговиот ред и колона.

Примери

Производ од непразни комплети

Нека се дадат множествата $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{1,2\}$ .

$A\times B=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}$

$B\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}$

Тоа се различни множества, т.е. $A\times B\neq B\times A$ .

Шпил карти

Шпил од 52 карти

Декартовиот производ може да се илустрира на шпил од 52 карти. Шпилот има 13 вида карти {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} и секој вид се појавува во четири бои {♠, ♥, ♦, ♣}. Декартовскиот производ на овие множества се состои од 52 подредени пара од сите можни карти.

Вид × боја го дава следното множество {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦,), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}.

Боја × вид го дава следното множество {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Ова се различни, дисјунктни множества.

Дводимензионален координатен систем

Декартови координати на точки

Главен историски пример е Декартовата рамнина во аналитичката геометрија. Со цел да се претстават геометриските форми на нумерички начин и да се добијат нумерички информации од таквите претстави на форми, Рене Декарт на секоја точка во рамнината и доделил пар реални броеви, наречени координати. Обично такви парови од први и втори компоненти се нарекуваат координати. Множеството од сите такви парови, т.е. Декартов производ ℝ × ℝ каде ℝ се реални броеви, го претставува множеството од сите точки во рамнината.

Имплементација во теоријата на множества

Формалното дефинирање на Декартов производ од аспект на теоријата на множества произлегува од дефиницијата за подреден пар. Најчеста дефиниција за подреден пар е $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$, дадена од Куратовски. Од дефиницијата произлегува дека е $X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))$, при што ${\mathcal {P}}$ е партитивно множество. Така, постоењето на Декартовиот производ од кои било две множества во Цермело-Френкеловата теорија на множества е последица на аксиомата на пар, аксиомата на унија, аксиомата на партитивно множество и шемата за раздвојување. Бидејќи функциите најчесто се дефинираат како посебен случај на релации, а релациите се дефинираат како подмножества на Декартов производ, следува дека Декартов производ е суштински неопходен за повеќето други дефиниции.

Некомутативност и неасоцијативност

Нека A, B, C и D се множества.

Декартовиот производ не е комутативен,

$A\times B\neq B\times A$ ,

бидејќи координатите на подредените парови се пермутирани, освен ако е исполнет еден од следниве услови  :

• A е еднакво на B,
• барем едно од множествата A и B е празно.

Примери:

• Множествата се различни. На пример: A = {1,2}; B = {3,4}

= {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

= {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

• Множествата се еднакви. На пример: A = B = {1,2}

= {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

• Еден од комплетите е или празен. На пример: A = {1,2}; B = ∅

= {1,2} × ∅ = ∅

= ∅ × {1,2} = ∅

Во општ случај, Декартовиот производ не е асоцијативен (освен ако едно од множествата е празно).

$(A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)$

На пример, ако A = {1}, тогаш (A × A) × A = {((1,1),1)} ≠ { (1,(1,1)) } = A × (A × A)..

Декартов производ во однос на пресек, унија, подмножество

Еднаквост на множества (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D) илустрирана на примерот на множествата A={x∈ℝ:2≤x≤5}, B={x∈ℝ:3≤x≤7}, C={y∈ℝ:1≤y≤3}, и D={y∈ℝ:2≤y≤4}.

Графички приказ на (A∪B)×(C∪D)≠(A×C)∪(B×D)

Еднаквост на множествата A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C), A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) и A×(B\C)=(A×B)\(A×C) илустрирани на множествата A={y∈ℝ:1≤y≤4}, B={x∈ℝ:2≤x≤5} и C={x∈ℝ:4≤x≤7}.

Декартовиот производ се однесува убаво во однос на пресек на множества .

$(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$

Меѓутоа, еднаквоста на множествата не важи ако пресекот се замени со унија.

$(A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)$

Всушност, важи следнава равенка: $(A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]$

За разлика од множествата, важи идентитетот:

$(A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]$

Следниве еднаквости на множества ја илустрираат дистрибутивноста на Декартовиот производ и операциите со множества

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$ ,

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$ ,

$A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$ ,

$(A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})$ .

За подмножествата важи:

Ако е $A\subseteq B$ тогаш $A\times C\subseteq B\times C$ ,

Ако A,B $\neq \emptyset$ тогаш $A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D$ .

Кардиналност

Кардиналност (кардинал или кардинален број) е бројот на елементи од множеството. На пример, нека бидат дадени две множества: A = {a, b} и B = {5, 6}. Множествата имаат по два елементи. Нивниот Декартов производ, означен како A × B, дава ново множество кое се состои од следниве елементи:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

Секој елемент на множеството A е спарен со секој елемент на множеството B. Секој подреден пар е елемент во добиеното множество A × B. Бројот на различни елементи во Декартовиот производ на множества е еднаков на производот од бројот на елементи на множества чиј Декартов производ е пресметан; во овој случај тоа е 2 · 2 = 4. Кардиналниот број на добиеното множество е еднаков на производот од кардиналните броеви на множествата чиј Декартов производ е пресметан. Значи,

|A × B| = |A| · |B|..

Слично,

|A × B × C| = |A| · |B| · |C|

и така натаму.

Множеството е бесконечно ако барем едно од множествата е или бесконечно, а другото множество не е празно.

$n$-арни производ

Декартово степенување

Декартов квадрат (или бинарен Декартов производ) на множество X е Декартовиот производ X² = X × X. Пример за овој производ е дводимензионална рамнина R² = R × R каде R е множеството реални броеви: R² е множество од сите точки (x,y) каде се реалните броеви (види Декартов координатен систем).

Декартовиот степен на множество може да се дефинира како:

$X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X{\text{ за све }}i=1,\ldots ,n\}.$

Соодветен пример е R³ = R × R × R, каде што R е множество од реални броеви. Поопшт пример е R ⁿ.

n-арниот Декартов степен на множество е изоморфен во однос на просторот на функциите кои пресликуваат множество од n елементи во множество X. Како посебен случај, 0-арни Декартов степен од X може да се земе како едноелементно множество и соодветното празно пресликување со кодомен X.

Конечен n-арен производ

Декартовиот производ може да се обопшти на n-арен Декартов производ со n множества X₁, ..., X_n:

$X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in X_{i}\}.$

Вака дефиниран производ е множество од n-торки. Ако n-торките.се дефинирани како вгнездени подредени парови, тогаш множеството n-торки.може да се поистовети со (X₁ × ... × X_n−1) × X_n.

Бесконечни производи

Можно е да се дефинира Декартов производ за произволно (бесконечно) индексирано семејство на множества. Ако I е произволно множеството индекси, и $\{X_{i}\}_{i\in I}$ семејството на множества индексирани со I, тогаш Декартовиот производ на множествата во X се дефинира како

$\prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\right\},$

што претставува множество од сите функции дефинирани на множеството индекси така што вредноста на функцијата за одреден индекс i е елемент од множеството X_i. Дури и кога секој од производите X_i не е празен, Декартовиот производ може да биде празен ако не претпоставиме дека важи аксиомата на избор (што е еквивалентно на тврдењето дека секој таков производ не е празен).

За секое j од I, функцијата

$\pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},$

дефинирано од $\pi _{j}(f)=f(j)$ се нарекува j-та проекција.

Важен случај е кога множеството индекси е множеството на природни броеви $\mathbb {N}$: овој Декартов производ е множество од сите бесконечни секвенци каде што i-тата координата е од соодветното множество X_i. На пример, секој елемент на производот

$\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots$

може да се претстави како вектор со пребројливо многу реални координати. Ова множество обично се означува со $\mathbb {R} ^{\omega }$, или $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ .

Надворешни врски

• Статија за Декартов производ (англиски)