Гранична вредност

Гранична вредност или лимес - еден од основните поими во математичката анализа. Со помош на поимот на гранична вредност се дефинираат непрекинатоста, математичките изводи и интеграли. Се разликуваат гранична вредност на низа и гранична вредност на функција.

Граничната вредност е број кон кој тежи вредноста на функцијата или вредноста на членот на математичката низа кога аргументот на функцијата или индексот на низата се приближат кон некоја вредност.

Во математичките формули граничната вредност обично се означува со lim, на пример lim(a_n) = a, или со стрелка (→), на пример a_n → a.

Математичарите интуитивно го познавале концептот на гранична вредност веќе во втората половина на XVII век, што се гледа од трудовите на Исак Њутн. Таков е случајот и со трудовите на Ојлер и Лагранж во XVIII век. Првата строго научна дефиниција на гранична вредност ја дале Болцано во 1816 година и Коши во 1821 година.

Гранична вредност на низа

Главна статија: Гранична вредност на низа

Граничната вредност на низа броеви е вредност кон која се приближуваат членовите на низата кога нивниот индекс расте.

Тоа може да се искаже и поформално. Ако x е низа која има гранична вредност L:

За секој реален број ε > 0, постои природен број n₀, таков што за секое

n > n₀, |x_n − L| < ε.

Низите кои имаат гранична вредност се нарекуваат конвергентни низи. Оние кои немаат, се нарекуваат дивергентни низи. Ако низите не се ни конвергентни ни одредено дивергентни се нарекуваат неодредено дивергентни низи.

Гранична вредност на функција

Графиконот на функцијата покажува дека кога аргументот тежи кон бесконечност, вредноста на функцијата тежи кон вредноста $L$.

Главна статија: Гранична вредност на функција

Функцијата $f(x)$ има гранична вредност $L$ во точката $x_{0}$, ако за сите вредности $x$, доволно блиски на точката $x_{0}$, вредноста $f(x)$ е доволно блиска на вредноста $L$.

Денес најчесто се користи дефиницијата за гранична вредност на функција која ја формализирал Карл Вајерштрас во XIX век. Таа гласи:

Нека ƒ е функција дефинирана во отворениот интервал кој ја содржи вредноста c (освен можеби во самата точка c) и нека L е реален број. Тогаш формулата

$\lim _{x\to c}f(x)=L\,$

значи дека за секое реално ε > 0 постои реална вредност δ > 0 таква да за секое x кое го исполнува условот 0 < |x − c| < δ, имаме |ƒ(x) − L| < ε,

Математички тоа се запишува како:

$\forall \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0:\forall x\quad (0<|x-c|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Поврзано

• Гранична вредност на функција
• Гранична вредност на низа
• Низа
• Конвергентност