Гранична вредност на низа

Гранична вредност на низа или лимес на низа на реални броеви $a_{n}$ - точка $a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ при што за секоја нејзина околина $U$ постои природен број $n_{0}$ , така што $a_{n}\in U$ за сите броеви $n>n_{0}$ , т.е. така што почнувајќи од некој член, сите понатамошни членови на низата ѝ припаѓаат на таа околина.

Дефиниција

a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall U>0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in U

.

Гранична вредност на конвергентни низи

Покрај општата дефиниција, граничната вредност на конвергентните низи, т.е. за низи $a_{n}$ кои тежат кон некое $a$ , каде $a$ е конечен број, може да се запише како:

a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon .

Гранична вредност на дивергентни низи

Покрај општата дефиниција, граничната вредност на дивергентните низи, т.е. за низи $a_{n}$ кои тежат кон некое $a=\pm \infty$ , може да се запише како:

a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|>\epsilon .

Кошиева низа

Сините точки го прикажуваат графиконот на Кошиева низа (x_n), чија вредност се отчитува на „y“-оската. И визуелно може да се види дека низата конвергира кон својата гранична вредност кога n расте. Во множеството на реални броеви секоја Кошиева низа е конвергентна.

Кошиевата низа, која го добила името по истакнатиот француски математичар Огистен Луј Коши, е низа на реални броеви x_n која е дефинирана на следниов начин:

(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )

.

Кошиевата низа е тесно поврзана со поимот на гранична вредност на низа, бидејќи секоја Кошиева низа конвергира. Ако знаеме дека некоја низа е Кошиева, однапред знаеме дека таа има конечна гранична вредност.

Литература

Наум Целакоски, Верица Бакева, Боривоје Миладиновиќ, Јово Стефановски: Математика за IV година средно стручно образование, Скопје, 2010, ISBN 978-608-226-048-8 Архивирано на 24 јуни 2016 г.