Остаток (математика)

Во математиката резултатот од делењето е количник и остаток. Остатокот е нула ако количникот на двата броја на делењето е точен, во спротивно овој количник е приближен. Делењето се нарекува Евклидово кога неговиот деленик, делител и количник се природни броеви. Во Евклидовото делење, производот на количникот и делителот плус остатокот е еднаков на деленикот, а остатокот е природен број строго помал од делителот. Цел број е повеќекратник на друг ненулов цел број ако и само ако, во Евклидовото делење, количникот на апсолутната вредност на првиот со апсолутната вредност на вториот е точен, со други зборови, ако и само ако остатокот од ова Евклидово делење е нула. Во компјутерската наука, таков остаток се добива од операторот на модуло.

Целобројно делење со остаток

Природни броеви

Ако a и d се природни броеви, при што d е различен од нула, се докажува дека постојат два единствени цели броеви q и r, така што a = qd + r и 0 ≤ r < d . Бројот q се нарекува количник, додека r е остаток.

Евклидовото делење дава доказ за овој резултат, како и метод за негово добивање.

Примери

• Со делење на 13 со 10, добиваме 1 како количник и 3 како остаток, бидејќи 13 = 1×10 + 3.
• Со делење на 26 со 4, добиваме 6 како количник и 2 како остаток, бидејќи 26 = 6×4 + 2.
• Со делење на 56 со 7, добиваме 8 како количник и 0 како остаток, бидејќи 56 = 7×8 + 0.

Цели броеви

Ако a и d се цели броеви, при што d е различен од нула, тогаш остатокот r е цел број таков што a = qd + r, q е цел број и 0 ≤ | r | < |d|.

Оваа дефиниција овозможува да се формираат два различни остатоци за исто делење. На пример, делењето на −42 со −5 се изразува со:

−42 = 9×(−5) + 3

или

−42 = 8×(−5) + (−2).

Остатокот е 3 или −2.

Оваа двојност не е многу битна во пракса. Тоа е затоа што со одземање 5 од позитивниот остаток, d, се добива негативниот остаток. Ова е генерално точно. Делејќи со d, ако позитивниот остаток е именуван r₁, а негативниот остаток е именуван r₂, тогаш

r1 ₌ r2 ₊ d .

Реални броеви

Кога a и d се реални броеви, при што d е различен од нула, d не може да го дели a без остаток, ако количникот е друг реален број. Меѓутоа, ако количникот е цел број, концептот остаток сè уште е валиден. Докажано е дека постои единствен цел број q и реален остаток r таков што a = qd + r со 0 ≤ р < |d|. Како и во случајот со делењето на цели броеви, остатокот може да биде негативен, односно -|d| < р ≤ 0.

Обопштувањето на поимот остаток за реални броеви како што е опишано во претходниот пасус нема теоретско значење во математиката. Сепак, неколку програмски јазици го нудат тоа.

За неравенствата

Во дадените дефиниции, постои неравенка 0 ≤ р < | г | или -| г | < р ≤ 0. Неопходно е да се осигура дека остатокот е единствен. Изборот на таква неравенка е произволен: кој било услов од обликот x < р ≤ x + |d| (или x ≤ р < x + |d|), каде што x е константна, гарантира дека остатокот е единствен.

Поврзано

• Евклидов алгоритам
• Модуларна аритметика