Менелаева теорема

Менелаева теорема, именувана по Менелај Александриски — тврдење за триаголници во рамнинската геометрија . Да претпоставиме дека имаме триаголник ABC и трансверзала која ги сече BC, AC и AB во точките D, E и F соодветно, при што D, E и F се различни од A, B и C . Слабата верзија на теоремата вели дека

Менелаева теорема, случај 1: правата DEF поминува низ внатрешноста на триаголникот ABC

${\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1,$

каде за ${\overline {AB}}$ се зема за обичната должина на отсечката AB, т.е. прима само позитивна вредност.

Теоремата може да се зајакне до тврдење за должини на отсечки со знак, што дава дополнителни информации за релативниот редослед на колинеарните точки. Во тој случај, должината AB се зема како позитивна или негативна според тоа дали A е лево или десно од B во однос на некоја фиксна ориентација на правата; на пример, AF / FB се дефинира како позитивна вредност кога F е помеѓу А и B, а во друг случај прима негативна вредност. Верзијата на Менелаевата теорема кај должини со знак гласи

${\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1.$

Оваа верзија може да се означи и преку вектори за да не е нејасно дали должините на отсечките се со или без знак

${\frac {\vec {AF}}{\vec {FB}}}\cdot {\frac {\vec {BD}}{\vec {DC}}}\cdot {\frac {\vec {CE}}{\vec {EA}}}=-1.$

Еквивалентно, може да се запише дека

${\overline {AF}}\cdot {\overline {BD}}\cdot {\overline {CE}}=-{\overline {FB}}\cdot {\overline {DC}}\cdot {\overline {EA}}.$

Некои автори ги групираат множителите различно и добиваат навидум различна релација

${\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1,$

но бидејќи секој од овие множители е спротивен на соодветниот множител од погоре, се гледа дека равенката е иста.

Обратно е исто така точно: ако точките D, E и F се избрани на BC, AC, и AB соодветно, така што

${\frac {\vec {AF}}{\vec {FB}}}\cdot {\frac {\vec {BD}}{\vec {DC}}}\cdot {\frac {\vec {CE}}{\vec {EA}}}=-1,$

тогаш D, E и F се колинеарни. Обратното тврдење често се вклучува како дел од теоремата. (Забележете дека обратната страна на послабата верзија, онаа без знак, не е нужно точна. )

Теоремата е многу слична со Чевината теорема во тоа што нивните равенки се разликуваат само по знакот. Со препишување на секоја од членовите во вкрстените односи, двете теореми може да се посматраат како проективни дуали .

Доказ

Менелаева теорема, случај 2: правата DEF е целосно надвор од триаголникот ABC

Во продолжение е даден стандардниот доказ:

Прво, знакот на левата страна ќе биде негативен бидејќи или сите три соодноси се негативни (како во случајот кога линијата DEF не ги сече страните на триаголникот - долниот дијаграм), или еден од односите е негативен, а другите два се позитивни (случајот кога што DEF се сече со две од страните на триаголникот.) (Види ја аксиомата на Паш . )

За да ја проверите вредноста, спуштаме нормали од A, B и C кон правата DEF и нека нивните должини се a, b и c соодветно. Потоа од сличните триаголници следува дека | AF / FB | = | a / b |, | BD / DC | = | b / c |, и | CE / EA | = | c / a |. Значи, ако се гледа само должината, без знак, тогаш

${\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}=1,$

За поедноставен, но помалку симетричен начин за проверка на големината, нацртајте ја CK паралелно со AB при што DEF ја сече CK во K . Потоа, од слични триаголници, имаме

${\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\overline {BF}}{\overline {CK}}},\,{\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}={\frac {\overline {AF}}{\overline {CK}}}$

и резултатот следи со елиминирање на CK од овие равенки.

Како последица следи обратното тврдење. Нека D, E и F се дадени на правите BC, AC и AB така што равенката важи. Нека F ′ е точката во која DE ја сече AB. Тогаш, според теоремата, равенството важи и за D, E и F ′. Споредувајќи ги двата израза, добиваме

${\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'{B}}}}.$

Но, најмногу една точка може да пресече сегмент во даден сооднос па затоа F = F ′.

Доказ во кој се користат хомотетии

Во следниов доказ се користат само поими од афината геометрија, поточно хомотетии. Без разлика дали D, E и F се колинеарни или не, постојат три хомотетии со центри D, E, F кои соодветно ги пресликуваат B во C, C во A и A во B. Составот на тие три хомотетии е елемент од групата на хомотетии-транслации кој ја остава точката B неподвижна, па затоа станува збор за хомотетија со центар B, и со коефициент кој може да биде 1 (во кој случај тоа е идентитетот). Оваа композиција од пресликувања ја фиксира правата DE ако и само ако F е колинеарна со D и E (бидејќи првите две хомотетии сигурно ја фиксираат DE, а третата го прави тоа само ако F лежи на правата DE ). Затоа D, E и F се колинеарни ако и само ако оваа композиција е идентитетот, што значи дека големината на производот на трите коефициента на хомотетиите, т.е. производот на соодносите е 1:

${\frac {\overrightarrow {DC}}{\overrightarrow {DB}}}\times {\frac {\overrightarrow {EA}}{\overrightarrow {EC}}}\times {\frac {\overrightarrow {FB}}{\overrightarrow {FA}}}=1,$

што е еквивалентно на дадената равенка.

Историја

Неизвесно е кој всушност ја открил теоремата; сепак, најстариот пишан документ во кој се појавува е делото „Сферици“ од Менелај. Во оваа книга, рамнинската верзија на теоремата се користи како лема за докажување на сферичната верзија на теоремата.

Во делото „Алмагест“, Птоломеј ја применил теоремата за решавање на голем број на проблеми во сферичната астрономија. За време на исламското златно доба, муслиманските научници посветиле голем број дела кои се занимавале со проучување на Менелаевата теорема, која ја именувале како „тврдење за секантите“ (shakl al-katta'). Комплетниот четириаголник бил наречен „фигура од секанти“ во нивната терминологија. Работата на Ал-Бируни, „Клучевите на астрономијата “, наведува голем број од тие дела, кои можат да се класифицираат во студии како дел од коментарите на „Алмагест“ на Птоломеј како во делата на ал-Најризи и ал-Казин каде што секој покажал одреден случај на Менелаевата теорема што довело до синусната теорема или дела составени како независни трактати како, на пример:

• „Трактат за фигурата на секантите“ ( Рисала фи шакл ал-ката' ) од Табит ибн Кура .
• „Отстранување на превезот од мистериите на фигурата на секантите“ (Кашф ал-кина 'ан асрар ал-шакл ал-ката'), исто така позната како „Книга за фигурата на секантите“ (Kitab al-shakl al-qatta') или во Европа како Трактат за целосниот четириаголник од авторот Хусам ал-Дин ал-Салар . За изгубениот трактат се осврнале Шараф ал-Дин ал-Туси и Насир ал-Дин ал-Туси .
• Дело на ал-Сијзи .
• Тахдиб од Абу Наср ибн Ирак .
• Рошди Рашед и Атанас Пападопулос се автори на „Сферици на Менелај: Ран превод и верзија на ал-Махани/ал-Харави (Критичко издание на Сфериците на Менелај од арапските ракописи, со историски и математички коментари)“, Де Грујтер, Серија: Scientia Graeco-A, 21, 2017, 890 страници. ISBN 978-3-11-057142-4

Наводи

• Russell, John Wellesley (1905). „Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem"“. Pure Geometry. Clarendon Press.

Надворешни врски

• Алтернативен доказ на Менелаевата теорема, од PlanetMath
• Менелај од Чева
• Чева и Менелаус се среќаваат на патот
• Менелаус и Чева на MathPages
• Демо на Менелаевата теорема од Џеј Варендорф. Проектот за демонстрации на Волфрам .