Степенување

Степенување е математичката операција, означувана со bⁿ. Истата вклучува два броја, односно основа b и експонент n. Друг збор за експонент е степен. Основата b се пишува на нивото и со истата големина како обичниот текст, а експонентот n се пишува непосредно десно од основата, за половина ниво погоре и со помала големина од обичниот текст, односно n се пишува како горен индекс на b.^[1]

За bⁿ читаме: b на n-ти или b на n-ти степен.

Експонентот е позитивен цел број

Дефиниција:  $b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}\,,\,\,$    каде што n е позитивен цел број

Значи, за n позитивен цел број, степенување е повторно множење на b со себе n пати.

Ако n=1, тогаш b¹ = b, т.е. b на први степен е b.

Ако n=2, тогаш b² = b·b, т.е. b на втори степен или b на квадрат е b по b.

Ако n=3, тогаш b³ = b·b·b, т.е. b на 3-ти степен е b по b по b.

...

Клучниот збор е на. Изразот 3 на 5-ти значи 3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
Експонентот важи само за основата, т.е. само за бројот кој е непосредно на лево од него.
По договор и доколку нема загради, степенување се прави пред другите математички операции како множење (и делење) и собирање (и вадење).

f(x)=x² (сина) е полином; g(x)=2^x (црвена) е експоненцијална функција

Примери:

(-17,4)²=(-17,4)·(-17,4) = +302,76 = 302,76	-17,4² = - (17,4 · 17,4) = -302,76
350 - 10² · 4 = 350 - 100 · 4 = 350 - 400 = -50	0⁷⁴=0

Функција каде што променливата e основата на експоненти кои се позитивни цели броеви се вика полином. Оваа класа на функции се многу важни.

Пример: f(x)=x² е полином (од втор степен).

Функција каде што променливата е експонент на основа која е позитивен реален број се вика експоненцијална функција. И оваа класа на функции се многу важни.

Пример: g(x)=2^x е експоненцијална функција (со основа 2).

Експонентот е цел број

Дефиниција:  $b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}$     каде што b≠0 и n е цел број (позитивен, нула или негативен).

Значи, при преместување на експоненцијален израз од едната страна на дробна црта на другата страна, знакот на експонентот се менува.

Примери:

$3x^{-2}={\tfrac {3}{x^{2}}}$	${\tfrac {1}{(2x)^{-2}}}=(2x)^{2}=2x\cdot 2x=2\cdot 2\cdot x\cdot x=4x^{2}$
${\tfrac {1}{3x^{-7}}}={\tfrac {x^{7}}{3}}$	${\tfrac {6y}{(2x)^{-2}}}=6y\cdot (2x)^{2}=6y\cdot 4x^{2}=24x^{2}y$

Основни формули за експоненти

 $b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}\,,\,\,b\neq 0$

Доказ:

b^{m}\cdot b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{m}\,\cdot \,\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{m+n}=b^{m+n}

 $(b^{m})^{n}=b^{mn}\,,\,\,b\neq 0$

Доказ:

(b^{m})^{n}=\underbrace {\,\,\,\underbrace {b\times \cdots \times b} _{m}\,\cdot \,\underbrace {b\times \cdots \times b} _{m}\cdot \,\cdots \,\cdot \,\underbrace {b\times \cdots \times b} _{m}\,\,\,} _{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{m\cdot n}=b^{mn}

 $b^{0}=1\,,\,\,b\neq 0$

Доказ:^[2]

b^{n}\cdot 1=b^{n}=b^{n+0}=b^{n}\cdot b^{0}

Примери

${\tfrac {3x^{5}}{x^{2}}}=3x^{5}\cdot x^{-2}=3x^{3+(-2)}=3x^{1}=3x$	${(-2x^{2})}^{3}=(-2)^{3}\cdot (x^{2})^{3}=-8x^{2\cdot 3}=-8x^{6}$
${\tfrac {-2xy}{x^{5}y}}={\tfrac {-2y\cdot y^{-1}}{x^{-1}x^{5}}}={\tfrac {-2y^{0}}{x^{4}}}={\tfrac {-2}{x^{4}}}$	${\tfrac {-5}{3x^{2}+1}}$ не може да се упрости.
$({\tfrac {2x^{3}}{y}})^{-2}=({\tfrac {y}{2x^{3}}})^{2}={\tfrac {y^{2}}{(2x^{3})^{2}}}={\tfrac {y^{2}}{4x^{6}}}$	$0^{-3}$ не постои.

Експонентот е рационален број (дропка)

Дефиниција: x = ⁿ√b, т.е. n-ти корен на реален број b е број x таков што xⁿ = b.

Ако основата b е позитивен реален број и n е позитивен цел број, тогаш има точно едно реално решение, т.е. точно едно решение на равенката xⁿ = b кое е реален број. Ова решение се вика главниот n-ти корен на b. Тоа се означува со ⁿ√b, каде што √ е симбол за коренување. Друго означување е со т.н. рационални експоненти, имено:

Нека b е позитивен реален број, m нека е цел број, а n нека е позитивен цел број:

 Означување:  $b^{^{1}/_{n}}={\sqrt[{n}]{b}}$    и    $b^{^{m}/_{n}}={\sqrt[{n}]{b^{m}}}$ .

Внимавање треба кога основата b не е позитивен реален број при рационални (и реални) експоненти.

За b=0 и m≠0, погорниот израз е 0.
За b<0, погорниот израз е реален број само кога именителот на рационалниот експонент, т.е. кога n е непарен број (позитивен цел). Доколку именителот n е парен број, изразот е комплексен број.

Меѓутоа, дигитрони и компјутерски апликации различно реагираат на експоненцијални изрази со негативна основа.

Случајот кога и b=0 и m=0, т.е. 0⁰ е многу сложено со различни можни вредности (и различни математичко толкување) и посебно се разгледуваат (види 0на0).

Експонентот е позитивен реален број

Доколку основата b е позитивен реален број, а бидејќи секој ирационален број х може да се приближува со рационален број r, степенување со експонент х, т.е. b^х може да се дефинира преку непрекинатост со ^[3]

b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r}\quad (r\in \mathbb {Q} ,\,x\in \mathbb {R} )

Експоненти и функции

За кратко пишување, позитивен целоброен експонент кај логаритамски и тригонометриски функции означуваат степенување. Имено и на пример:

Означување:  $\sin ^{2}(x)=\sin(x)\cdot \sin(x)=(\sin(x))^{2}\,\,,\,\,\cos ^{2}(x)=(\cos(x))^{2}\,\,...$ 
Означување:  $\log ^{2}(x)=\log(x)\cdot \log(x)=(\log(x))^{2}\,\,,\,\,\ln ^{2}(x)=(\ln(x))^{2}\,\,...$

Забележуваме дека при користење на повеќето компјутерски апликации и програми, овие кратенки не функционираат.

Од друга страна, кај општа функција f(x), позитивен целоброен експонент обично означува повторна композиција на функцијата, т.е. f³(x)=f(f(f(x))), а со експонентот (-1) се означува инверзна функција на f.

Меѓутоа, нема конзистента дефиниција за експонент (-1) кај тригонометриски функции. На пример,

sin^-1(x)=arcsin(x), т.е. sin^-1(x) e инверзната функција на sin(x) во САД и на повеќе дигитрони или sin^-1(x)=¹/_sin(x) (во Р.М.).

Степенување со Windows® 7 дигитрон

Копчиња за степенување со дигитрон

Степенување со дигитрони

Начинот на степенување со дигитрон зависи од типот на дигитронот. Посебни дирки за степенување ги имаат т.н. научни дигитрони (види ги сликите).

Секој научен дигитрон има едночекорен тастер: x², т.е. по внесување на бројот b кој е основата, се притиска на овој тастер и пресметан е b².
Повеќето научни дигитрони имаат и едночекорен тастер: x³ за трет степен.
Секој научен дигитрон има едночекорен тастер: ¹/_x или x^-1 за пресметување на реципрочен број.
Секој научен дигитрон има сложен тастерx^y или ^ за пресметување со други експоненти освен 2 и 3.
- Се внесува основата, па се притиска на овој тастер. Потоа се внесува експонентот, па се притиска на = или Enter.
  - За основа која е позитивен (реален) број нема некакви проблеми при користење на овој тастер.
  - За основа која е негативен број, треба (а) рачно да се провери дека изразот е валиден (има решение) и (б) да се знае како работи дигитронот со негативни основи.

Примери со обичен научен дигитрон: (види ја и анимацијата)

3²	Притисни: 3 `x²`	Резултатот е: 9
(-3)²	Притисни: 3 `±` `x²`	Резултатот е: 9
2³	Притисни: 2 `x³`	Резултатот е: 8
4⁻¹	Притисни: 4 `¹/_x`	Резултатот е 0,25
³/_4²	Притисни: 3 `/` `(` 4 `x²` `)` `=`	Резултатот е 0,1875
0,0625^¾	Притисни: 0 . 0 6 2 5 `x^y` `(` 3 `/` 4 `)` `=`.	Резултатот е: 0,125

Степенување во програмирање

Означување на експонентот како горен индекс x^y е погодно за ракопис, но не е погодно за машинско пишување, особено во програмски јазици каде што сите карактери се на едно ниво (нема горен или долен индекс).

x ^ y: BASIC, J, Геогебра, Sage, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX и LaTeX, TI-BASIC, bc (за цели бројни експоненти), Haskell (за ненегативни цели бројни експоненти), Lua, ASP и повеќето системи за алгебра со компјутери (CAS). Ознаката ^ се вика карета и се добива на тастатурата со латинција со Shift+6.
x ** y: Ada, Bash (Unix shell), COBOL, Fortran, FoxPro 2|FoxPro, Gnuplot, OCaml, F#, Perl, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell (заекспоненти со подвижна запирка), Turing , VHDL
pow(x,y): C⁺⁺, C^#
x ↑ y: Algol, Commodore BASIC
x ^^ y: Haskell (за рационална основа, цели бројни експоненти), D
pown x y: F# (за цело бројна основа и експонент)
x⋆y: APL

Многу програмски јазици немаат вградена синтакса за степенување, но имаат функции во нивните библиотеки.

Внимание: Во Bash, C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python и Ruby, Pascal, OCaml, каретата ^ означува друго, а не степенување. Треба да се води сметка за синтаксата на соодветниот јазик.

Ефикасно степенување

Наједноставниот метод за пресметување на bⁿ изискува n − 1 множења, но може и поефикасно како на пример: За пресметување на 2¹⁰⁰, користиме 100 = 64 + 32 + 4. Пресметувајќи редоследно:

2² = 4
(2²)² = 2⁴ = 16
(2⁴)² = 2⁸ = 256
(2⁸)² = 2¹⁶ = 65.536
(2¹⁶)² = 2³² = 4.294.967.296
(2³²)² = 2⁶⁴ = 18.446.744.073.709.551.616
2⁶⁴ 2³² 2⁴ = 2¹⁰⁰ = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376

Оваа низа на чекори бара само 8 множења наместо 100-1=99 (има две множења во последниот чекор).

Општо кажано, бројот на множења потребни за пресметување на bⁿ може да се редуцира на Θ(log n) користејќи квадратно степенување. Денес нема ефикасен алгоритам за пресметување на минималната низа, но има повеќе ефикасни евристички алгоритми за степенување.^[4]

Табела на целобројни експоненти

n	n²	n³	n⁴	n⁵	n⁶	n⁷	n⁸	n⁹	n¹⁰
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1,024
3	9	27	81	243	729	2.187	6.561	19.683	59.049
4	16	64	256	1.024	4.096	16.384	65.536	262.144	1.048.576
5	25	125	625	3.125	15.625	78.125	390.625	1.953.125	9.765.625
6	36	216	1.296	7.776	46.656	279.936	1.679.616	10.077.696	60.466.176
7	49	343	2.401	16.807	117.649	823.543	5.764.801	40.353.607	282.475.249
8	64	512	4.096	32.768	262.144	2.097.152	16.777.216	134.217.728	1.073.741.824
9	81	729	6.561	59.049	531.441	4.782.969	43.046.721	387.420.489	3.486.784.401
10	100	1.000	10.000	100.000	1.000.000	10.000.000	100.000.000	1.000.000.000	10.000.000.000

n	n²	n³	n⁴	n⁵	n⁶
${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{8}}$	${\tfrac {1}{16}}$	${\tfrac {1}{32}}$	${\tfrac {1}{64}}$
${\tfrac {1}{3}}$	${\tfrac {1}{9}}$	${\tfrac {1}{27}}$	${\tfrac {1}{81}}$	${\tfrac {1}{243}}$	${\tfrac {1}{729}}$
${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{16}}$	${\tfrac {1}{64}}$	${\tfrac {1}{256}}$	${\tfrac {1}{1024}}$	${\tfrac {1}{4096}}$
${\tfrac {1}{10}}$ =0,1	${\tfrac {1}{100}}$ =0,01	${\tfrac {1}{1000}}$ =0,001	0,0001	0,00001	0,000001

Наводи

↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Index (indices)"“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 403. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Introducing 0th Power“ (англиски). Planet Math. Посетено на 1 септември 2013.
↑ Denlinger, Charles G. (2011). Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. стр. 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4.
↑ Gordon, D. M. 1998. A survey of fast exponentiation methods. J. Algorithms 27, 1 (Apr. 1998), 129-146. doi:http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1997.0913

Поврзани теми

Надворешни врски

Стојановска, Л. (2010). „Научно означување“. Архивирано од изворникот на 2016-03-05. Посетено на 1 ноември 2013.
Staple, E. (2013). „Exponents“ (англиски). Purple Math. Посетено на 1 ноември 2013. интерактивно (долу)
Pierce, R. (2013). „Laws of Exponents“ (англиски). Посетено на 1 ноември 2013. интерактивно
sci.math FAQ: What is 0⁰?
What does 0^0 (zero to the zeroth power) equal? on AskAMathematician.com

[1] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Index (indices)"“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 403. Посетено на 1 септември 2013.

[2] „Introducing 0th Power“ (англиски). Planet Math. Посетено на 1 септември 2013.

[Denlinger-3] Denlinger, Charles G. (2011). Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. стр. 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4.

[4] Gordon, D. M. 1998. A survey of fast exponentiation methods. J. Algorithms 27, 1 (Apr. 1998), 129-146. doi:http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1997.0913

[1]

[2]

[3]

[4]