Момент на сила

Момент на сила, момент, или вртежен момент е способност на силата да заврти тело околу оска,^[1] лост, или потпирач. Како што силата претставува привлекување или оттурнување, моментот на сила може да се смета како завртување на телото. Математички, моментот на сила се дефинира како векторски производ на векторот според кој дејствува силата во одредената точка релативно на оддалечената точка (растојание) и векторот на силата, која е причината за кружното движење.

Поврзаноста меѓу силата F, моментот на сила τ, линискиот импулс p, и аголниот момент L во систем кај кој кружното движење е ограничено во една рамнина (силите и импулсите предизвикани од гравитацијата и триењето се занемарени).

Гледано лаички,моментот на сила е мерка за вртежната сила како што се на пример замаец или пак шраф. На пример, туркае или влечењена клуч поврзан со навртка или шраф создава момент на сила (вртежна сила) која ја олабавува или затегнува навртката.

Симболот на вртежен момент е буквата $\tau$ , или со мали грчки букви tau. Кога е наречена момент на сила,таа најчесто се означува со M.

Големината на вртежен момент зависи од три количини:применетата сила и должината на лостот^[2] поврзувајќи ја оската до точката на применетата сила, и аголот помеѓу векторот на сила и лостот. Во симболи:

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!

\tau =\|\mathbf {r} \|\,\|\mathbf {F} \|\sin \theta \,\!

каде

{\boldsymbol {\tau }}

е вектор на вртежен момент

\tau

е симбол на вртежниот момент,

r е вектор на позиција (вектор од потеклото на координатен систем дефиниран до точка каде што се применува сила)

F е вектор на силата,

× го означува производ на вектор,

θ е аголот помеѓу векторот на сила и векторот на лостот.

Во SI за вртежен момент е Њутн (единица) (N⋅m). За повеќе единици на вртежен момент,погледни во единици за вртежен момент.

Поими

Оваа статија ја следи физичката термилогијата на САД,Во неговата употреба на зборот вртежен момент.^[3] Во Велика Британија и во машинството на САД, ова се нарекува момент на сила, обично се скратува на момент.^[4] Во физиката на Сад^[3] и физичката терминологија на Велика Британија,овие поими се менливи, за разлика од машинското инженерство во САД,каде што поимот вртежен момент се користи за тесно поврзаниот "произлезен момент на парот на сили".^[4]

Вртежен момент е дефинирано математички како стапка на промена на аголниот момент на објектот.Дефиницијата за вртежен момент наведува дека еден или двата од аголната брзина или моментот на инерција на објектот се менуваат. Момент е општ термин кој се користи за тенденцијата на една или повеќе применети сили да ротираат објект околу оска ,но не мора да се промени аголниот момент на објектот (концепт кој се нарекува вртежен момент во физиката).^[4] На пример, вртежна сила применета на вратило предизвикува забрзување,како бургија која забрзува од останатите,резултатот во моментот се нарекува вртежен момент. Спротивно на тоа,бочната сила на гредата произведува момент(наречен момент на свиткување)но со оглед на тоа дека аголниот момент на гредата не се менува ,овој момент на свиткување не се нарекува вртежен момент.Слично со сите парови на сили на објект кои немаат промена на својот аголен момент,таков момент исто така не се нарекува вртежен момент.

Оваа статија ја следи физичката терминологија на САД со нарекување на сите моменти со терминот вртежен момент,без разлика дали тие го предизвикуваат аголниот момент на објектот да се промени или не.

Историја

Концептот на вртежен момент,исто така наречен момент или пар на сила, потекнува од студиите на Архимед на рачките. Терминот вртежен момент очигледно беше воведен во научната литература на англиски јазик од страна на Џејмс Томсон, братот на Лорд Келвин, во 1884 година.^[5]

Дефиниција и односи кај аголниот момент

Честичка е со местоположба r релативна на оската на вртење. Кога силата F ќе се примени на честичката, само нормалната компонента F_⊥ создава момент на сила. Овој момент на сила τ = r × F има големина од τ = |r| |F_⊥| = |r| |F| sinθ и е насочена надвор од страната.

Сила под прав агол на рачката се множи со неговата оддалеченост од рачката до точката на ротација (должината на лостот) е вртежен момент.Силата на три њутни применува два метри од точката на ротација,на пример,истиот вртежен момент како сила од еден њутн применува шест метри од точката на ротација. Насоката на вртежен момент може да се утврди со помош на правилото на десна рака:ако прстите на десната рака се свиткани од насоката на лостот кон насоката на силата,тогаш палецот ја покажува насоката на вртежниот момент.^[6]

Поопшто вртежниот момент на честички (која ја има позицијата r во некоја референтна рамка) може да биде дефинирана како векторски производ:

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,

каде r е ставот на векторот во однос на честичките на точката на ротација , и F е силата која се применува на честичката. Големината на τ на вртежниот момент е дадена од страна на:

\tau =rF\sin \theta ,\!

каде r е растојание од оската на вртење до честичката, F е големината на применетата сила, и θ е аголот помеѓу позицијата и векторите на сила. Алтернативно,

\tau =rF_{\perp },

каде F_⊥ е износот на сила насочена вертикално на позицијата на честички.Било која сила насочена паралелно со векторската позиција на честичките не произведуваат момент на сила.^[7]

Тоа произлегува од својствата на векторскиот производ со тоа што векторот на моментот на сила е нормален и со двете и со позицијата и со векторите на сила. Векторот на сила покажува по должината на оската кој векторот на сила(почнувајќи од останатите) ќе иницира. The resulting torque vector direction is determined by the right-hand rule.^[7]

Неурамнотежен вртежен момент на тело по оската на вртење ја одредува брзината на промена на аголниот момент на телото.

{\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}

каде L е векторски аголен момент и t е време.Ако има повеќе вртежни моменти кои делуваат на телото, тоа е, наместо нето вртежен момент кој ја одредува брзината на промена на аголниот момент:

{\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}.

За ротација околу фиксна оска,

\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},

каде $I$ е момент на инерција и ω е аголна брзина .Следува дека

{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }},

каде α е аголното забрзување на телото, се мери во rad / s2. Оваа равенка има ограничување дека равенката на вртежен момент ја опишува моменталната оска на вртење или центар на маса за било кој тип на движење - фиксна оска на вртење, или мешани движење. $I$ = Момент на инерција за точка на која е напишан вртежниот момент. (или моменталната оска на вртење или само центар на маса). Ако вашето тело е во транслаторна рамнотежа, тогаш равенката на вртежниот момент е иста за сите точки во рамнината на движење.

Вртежен момент не е нужно ограничена на вртење околу постојана оска, сепак. Може да се промени големината и / или насока на векторот на аголниот момент, во зависност од аголот помеѓу векторот на брзината и не-радијална компонента на векторот на сила, како што се гледа во стожерот во референтна рамка. Нето вртежен момент на телото се врти тоа може да резултира со прецесијата, без да мора да предизвика промена во стапката на вртење.

Доказ за еднаквост на дефинициите

Дефиницијата на аголниот момент за една честичка е:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times {\boldsymbol {p}}

каде што "×" укажува на векторскиот производ, p е линеарна динамика на честичката, и r е вектор на поместување од потекло (потеклото се претпоставува дека е фиксна локација каде било во простор). Време-деривативни за ова е:

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times {\boldsymbol {p}}.

Овој резултат може лесно да се докаже со поделба на векторите во компоненти и примена на правилото на производ. Сега со помош на дефиницијата за сила $\mathbf {F} ={\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}$ (без разлика дали е или не е константна масата) и дефинирањето на брзина ${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v}$

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} +\mathbf {v} \times {\boldsymbol {p}}.

Векторскиот производ на масата во движење ${\boldsymbol {p}}$ придружено со брзината $\mathbf {v}$ е нула бидејќи брзината и масата во движење се паралелни, па вториот израз исчезнува.

По дефиницијата,вртежен момент τ = r × F. Затоа, вртежниот момент на честичката е еднаков на првата стапка на промена на својот аголен момент во однос на времето.

Ако повеќе сили се применети,наместо тоа вториот закон на Њутн чита F_net = ma, и оттука следува дека

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{\mathrm {net} }={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }.

Ова е општ доказ.

Единици

Вртежниот момент има димензија сила,време,растојание,симболично L²MT⁻². Официјалната SI литература сугерира користење на единицата Њутнов метар односно Њутн по метар(N⋅m) или единицата џул по радијан.^[8] Единицата Њутнов метар е икажан преку T N⋅m или N m.^[9] Со ова се избегнуваат грешки и недоразбирање со mN, милиЊутнови.

↑ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7.
↑ Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.
↑ ^3,0 ^3,1 Physics for Engineering by Hendricks, Subramony, and Van Blerk, Chinappi page 148, Web link
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 Dynamics, Theory and Applications by T.R. Kane and D.A. Levinson, 1985, pp. 90–99: Free download
↑ Thomson, James; Larmor, Joseph (1912). Collected Papers in Physics and Engineering. University Press. стр. civ., at Google books
↑ „Right Hand Rule for Torque“. Посетено на 2007-09-08.
↑ ^7,0 ^7,1 Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, Inc. стр. 184–85.
↑ From the official SI website: "...For example, the quantity torque may be thought of as the cross product of force and distance, suggesting the unit newton metre, or it may be thought of as energy per angle, suggesting the unit joule per radian."
↑ „SI brochure Ed. 8, Section 5.1“. Bureau International des Poids et Mesures. 2006. Посетено на 2007-04-01.

[1] Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7.

[2] Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.

[Hendricks-3] 3,0 ^3,1 Physics for Engineering by Hendricks, Subramony, and Van Blerk, Chinappi page 148, Web link

[Kane-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 Dynamics, Theory and Applications by T.R. Kane and D.A. Levinson, 1985, pp. 90–99: Free download

[5] Thomson, James; Larmor, Joseph (1912). Collected Papers in Physics and Engineering. University Press. стр. civ., at Google books

[6] „Right Hand Rule for Torque“. Посетено на 2007-09-08.

[halliday_184-85-7] 7,0 ^7,1 Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, Inc. стр. 184–85.

[BIPM222-8] From the official SI website: "...For example, the quantity torque may be thought of as the cross product of force and distance, suggesting the unit newton metre, or it may be thought of as energy per angle, suggesting the unit joule per radian."

[BIPM_5.1-9] „SI brochure Ed. 8, Section 5.1“. Bureau International des Poids et Mesures. 2006. Посетено на 2007-04-01.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]