Систем на линеарни равенки

	Статии поврзани со линеарната алгебра
	Теорија на матрици
	Матрица ; Детерминанта ;
	Системи линеарни равенки
	Линеарна равенка ; Систем линеарни равенки ; Крамерово правило ; Кронекер-Капелиева теорема ;
	Линеарни пресликувања и векторски простори
	Вектор, Скалар ; Векторски простор ; Линеарна зависност ; Линеарно пресликување ; Спектрална теорема ;
	Останати статии
	Портал: Математика

Систем на линеарни равенки — множество на линеарни равенки од типот:

Линеарен систем со три променливи одредува множество рамнини. Пресекот на сите рамнини е решение

{\begin{array}{rcrcrcc}3x_{1}&+&2x_{2}&-&x_{3}&=&1\\2x_{1}&-&2x_{2}&+&4x_{3}&=&-2\\-x_{1}&+&{\frac {1}{2}}x_{2}&-&x_{3}&=&0\end{array}}

Стандарден проблем е да се утврди дали постои множество вредности за непознатите $x_{1},x_{2},x_{3}\,\!$ , кое ги задоволува сите равенки истовремено и да се најде такво множество доколку постои. Постоењето на решенија зависи од равенките, но и од достапните вредности (дали се работи за цели броеви, реални броеви, и сл.). Системот од горниот пример има единствено решение:

{\begin{alignedat}{2}x_{1}&=&1\\x_{2}&=&-2\\x_{3}&=&-2\end{alignedat}}

Системите на линеарни равенки спаѓаат меѓу најстарите математички проблеми и имаат многу примени, како што се обработката на дигитални сигнали, процени, предвидувања, како и линеарно програмирање и апроксимација на нелинеарни проблеми во бројчената анализа. Постојат многу начини да се реши систем на линеарни равенки. Меѓутоа, меѓу најефикасните се Гаусовата постапка и декомпозицијата на Чолески.

Воопштено, систем со m линеарни равенки и n непознати се запишува на следниов начин:

{\begin{array}{rcrcccrcl}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&\cdots &+&a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&\cdots &+&a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &&&&&\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\end{array}}

каде $x_{1},\ x_{2},...,x_{n}$ се непознатите, а броевите $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ се коефициенти на системот. Коефициентите се ставаат во матрицата на следниов начин:

{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}

Ако секоја матрица се претстави со буква, ова станува:

A\mathbf {x} =\mathbf {b}

каде A е матрица m×n, x е вектор колона со n члена, а b е вектор колона со m члена. Гаус-Жордановата елиминација се применува на сите овие системи, дури и ако коефициентите се од некое произволно поле.

Ако полето е бесконечно (како во случајот на реалните или комплексните броеви), можна се само следните три случаи (само еден од нив ќе биде точен) за секој даден систем на линеарни равенки:

системот нема решение (системот е противречен)
системот има точно едно решение
системот има бесконечно многу решенија

Систем со облик:

A\mathbf {x} =\mathbf {0}

се нарекува хомоген систем на линеарни равенки. Множеството на сите решенија се нарекува нула простор на матрицата A.

Во светло на многубројните горенаведени примени, развиени се неколку поефикасни алтернативи на Гаус-Жордановата елиминација за широк спектар на специјални случаи. Многу од овие подобрени алгоритми се со сложеност O(n²). Некои од највообичаените специјални случаи се:

За проблеми од обликот Ax = b, каде A е симетрична Теплицова матрица, може да се користи Левинсоновата рекурзија или некоја од нејзините варијации. Една од често користените варијации е Шуровата рекурзија која се користи обработката на дигитални сигнали.
За проблеми од обликот Ax = b, каде A е сингуларна матрица, или скоро сингуларна, матрицата A се разложува во производ на три матрици. Матриците од левата и десната страна се леви и десни сингуларни вектори. Матрицата во средината е дијагонална матрица и содржи сингуларни вредности. Матрицата тогаш може да се инвертира со проста замена на редоследот на трите компоненти, со транспонирање на матрицата на сингуларни вектори, и земање на реципрочните вредности на дијагоналните елементи на средишната матрица. Ако која било од сингуларните вредности е многу блиску до нулата, и со тоа до сингуларноста, се поставува на нула.

Литература

Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.

Поврзано

Надворешни врски

(македонски) Систем на линеарни равенки и неравенки на мрежното место е-математика
Онлајн линеарен решавач
Систем линеарни равенки со калкулатор Архивирано на 22 јули 2013 г.
Системи линеарни диференцијални равенки Архивирано на 14 февруари 2007 г.
(француски) Решавање линеарни системи Архивирано на 15 септември 2007 г.