Скаларен производ

Скаларен производбинарна операција која зема два вектори како аргументи, а резултатот е скаларен. Ова е посебен случај на внатрешно множење на простори. Ако овие два вектори се исто така од векторски простор, записот за оваа операција е како што следи:

Скаларен производ се вика секое пресликување кое ги има следните својства:

Каде, и векторите о, а α се произволен реален број.

Приказ на стандарден скаларен производ на вектори

Скаларен производ на векторите јас се дефинира на следниов начин:

Притоа и се интензитетите на овие вектори, определени со следните координати:

јас

Пример за скаларно множење на вектори (1, 3, −5) и (4, −2, −1) во тридимензионален простор:

ДоказУреди

Формулата :   може да се докаже со набљудување на два вектори со заеднички почеток и нивната разлика:

Ако   е аголот помеѓу два вектори чиј скаларен производ треба да се најде, користејќи ја косинусната теорема може да се напише:

 

Бидејќи   е еднаков на  , следи:

 

Од каде се наоѓа:

 
 

Оттука се добива конечната формула:

 

Ортогонални векториУреди

Со замена на вредностите на аглите во претходната формула во случај векторите   и   да се заемно нормално добиваме:

  .

Ова својство често е корисно за докажување дека векторите се меѓусебно нормални, бидејќи е доволно и неопходно нивниот скаларен производ да биде еднаков на нула.

СвојстваУреди

Скаларниот производ на вектори ги има следните својства:

 

 

 

Користење за пресметување на интензитет на векторУреди

Со користење на скаларен производ на вектори, може да се изведе формула за интензитет на векторот. [1]

Бидејќи:

 

За посебен случај кога   еднаквоста се претвора во:  

Врз основа на тоа се заклучува:
 

Овој образец ја претставува формулата за пресметување на интензитетот на векторот.

Примена во физикатаУреди

Бидејќи самите вектори се применливи во физиката, скаларниот производ на вектори наоѓа примена во неа. Така, на пример, работата се дефинира како скаларен производ на векторот на сила и векторот на поместување:

 

Геометриска интерпретацијаУреди

Бидејќи е познато дека скаларниот производ на два вектори и производот на нивните интензитети со агол меѓу нив, аголот може да се пресмета со инверзна операција.[2] [3]

     

Троен производУреди

  Оваа формула наоѓа примена во поедноставувањето на векторските пресметки во физиката

Проекција на вектор врз векторУреди

Со помош на скаларниот производ може да се пресмета проекција на вектор врз вектор[4], т.е.

  •   скаларна проекција на векторот   врз векторот  
  •   скаларна проекција на векторот   врз векторот  
  •   векторска проекција на векторот   врз векторот  
  •   векторска проекција на векторот   врз векторот  

Последици од скаларното множењеУреди

  •   [5]
  •  
  •  
  •   или барем еден од векторите е  
  •   (   )

ПоврзаноУреди

НаводиУреди

  1. Lipschutz, M.; Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (изд. 4th.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
  2. M.R. Spiegel, D.; Lipschutz; Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (изд. 2nd.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
  3. A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Преведено од Richard Silverman. Dover. стр. 14.
  4. projekcija vektora na vektor
  5. skalami proizvod a b= 0

ЛитератураУреди

  • Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Inner product”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104. 
  • Weisstein, Eric W. „Dot product”. MathWorld.