Прекината случајна променлива

Во веројатноста, прекината случајна променлива (дискретна случајна променлива) е случајна променлива со конечен број или со изброив број елементи. (Случајна променлива e непрекината ако нејзиното множество на вредности е интервал или унија од интервали.)^[1]^[2]^[3]

Подолу ја користиме буквата Х како „генерична ознака“ на случајна променлива. Вообичаено е да се користат големи букви од латиница како X, Y и Z за случајни променливи, а соодветните мали букви за нивни елементи.

Веројатноста на елементот х од Х се означува со Pr(Х=х) или со P(Х=х) или со P(х) или со p(х). Од основните принципи на веројатноста (види веројатност, случајна променлива):

0\leq Pr(X=x)\leq 1

и

\sum \limits _{X}{\Pr(X=x)=1}

Прекинати распределби

Случаен опит или експеримент со прекината случајна променлива се вика прекината распределба. Неколку познати прекинати распределби се:

Закон на распределба

Распределба на веројатностите кај прекината случајна променлива се вика Закон на распределба.^[1] Значи Законот на распределба е приказ на веројатностите за секоја вредност на Х. Приказот може да биде табеларен, функциски или графички.

Кратенка за Законот на распределба е PDF (анг. Probability Distribution Function) (обично). Оваа кратенка важи и кај непрекинати прекинати променливи (анг. Probability Density Function).
Кај прекинатата случајна променлива, се дефинира PDF-от само за вредностите на случајната променлива, а за други реални броеви законот е недефиниран (обично).
- За табеларен приказ на PDF-от со случајна променлива Х како насловни имиња во табелата се користат Х=х и Pr(Х=х) (за веројатностите).
- За функциски приказ на PDF-от се користи мала буква f за функцијата, а за променливата се користи мала буква од случајната променлива. На пример, ако Х е случајната променлива, со f(x) се означува соодветниот PDF. Доколку елементите на X се подредени цели броеви, честопати се користи k наместо x и пишуваме f(k).

f(x)=\Pr(X=x)\,\,\,\,\,x\in X

За графички приказ на PDF-от, едноставно се внесуваат точките користејќи го табеларниот приказ (веројатностите се на y-оската).

Од основните принципи на веројатност, збирот на сите веројатности на елементите на случајната променлива Х е 1, т.е.

\sum \limits _{X=x}f(x)=1

Кумулативна распределба

Кумулативна распределба на една прекината случајна променлива Х е приказ на збирот на веројатностите на елементите помали и еднаква на x∈ℝ.^[1] Приказот може да биде табеларен, функциски или графички.

Кратенка за кумулативна распределба е CDF (анг. Cummulative Distribution Function) (обично). И називот и кратенката важат и кај непрекинати прекинати променливи.
Се дефинира CDF-от за сите реални броеви, а не само за вредностите на Х.
- За функциски приказ на CDF-от се користи голема буква F за функцијата, а мала буква од случајната променлива за променливата. На пример ако Х е случајната променлива, со F(x) се означува соодветниот CDF.

F(x)=\Pr(X\leq x)=\sum \limits _{k\leq x}f(k)\,\,\,\,\,x\in \mathbb {R}

При прекината случајна променлива Х, секој елемент на Х има ненегативна веројатност, па се појавува скок во CDF. Значи CDF-от не е мазна непрекината функција!
Од основните принципи на веројатноста,
- Вредноста на CDF-от пред првиот (најмал) елемент на Х е 0.
- Вредноста на CDF-от во и после последниот (најголем) елемент на Х е 1.

Означување

Кардиналноста на едно множество А е бројот на (различните) елементи на множеството и се означува со #A.

Конечна случајна променлива Х: Значи #Х=N, за позитивен цел број N, N≥2.
Изброива случајна променлива Х: Значи Х≅ℕ

Елементите на множеството Х се реални броеви и се подредени од најмал кон најголем број.

Првиот елемент на Х се означува со х₁, вториот елемент со х₂, итн.
Соодветно се означуваат веројатностите, односно Pr(х₁)=p₁, веројатноста Pr(х₂)=p₂, итн.

За конечна случајна променлива X со #X=N, општа форма на табелата на Законот на распределба на X е:

PDF на X со #X=N
$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	...	$x_{N}$
$Pr(X=x_{j})=f(x_{j})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{3}$	...	$p_{N}$

За изброива случајна променлива X со #X=ℕ, општа форма на табелата на Законот на распределба на X е:

PDF на X со #X=ℕ
$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	...	$x_{n}$	...
$Pr(X=x_{j})=f(x_{j})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{3}$	...	$p_{n}$	...

Мерки на прекината случајна променлива

Очекувана вредност

Очекувана вредност E(x)

E(x)=\sum \limits _{j=1}^{N}{{x_{j}}\cdot {p_{j}}}

односно

E(x)=\sum \limits _{j=1}^{\infty }{{x_{j}}\cdot {p_{j}}}

Поради соодветноста на формулите, честопати наместо „очекувана вредност“ се користи и терминот аритметичка средина од статистиката како и означување μ.

Дисперзија (варијанса)

Дисперзија σ²

\sigma ^{2}=\sum \limits _{j=1}^{N}{{{({x_{j}}-E(x))}^{2}}\cdot {p_{j}}}

односно

\sigma ^{2}=\sum \limits _{j=1}^{\infty }{{{({x_{j}}-E(x))}^{2}}\cdot {p_{j}}}

Стандардно отстапување

Стандардно отстапување σ

\sigma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}

Примери

Пример: Опитот е: Фрлање на фер коцка со десет страни и запишување на резултатот (на горната страна).

Соодветна прекината (конечна) случајна променлива е X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Бидејќи е фер коцка, сите исходи, т.е. сите N=10 елементи на Х се еднаквоможни со веројатност 1/10=0,1. (Ова е рамномерната распределба U(10).)

PDF на опитот

CDF на опитот

X=x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
f(x)	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1

x∈	(-∞,1)	[1,2)	[2,3)	[3,4)	[4,5)	[5,6)	[6,7)	[7,8)	[8,9)	[9,10)	[10,∞)
F(x)	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1

f(k)=0,1\,\,\,\,\,k=1,2,...,10

F(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}0&{x<1}\\0,1\cdot floor(x)&{1\leq x<10}\\1&{x\geq 10}\end{array}}\right.

PDF-от на опитот (Геогебра)

CDF-от на опитот (Геогебра)

Очекуваната вредност:	E(x) = ^N+1/₂=¹⁰⁺¹/₂ = ¹¹/₂ = 5,5
Дисперзијата:	σ² = ^(N²-1)/₁₂ = ^(10²-1)/₁₂ = ⁹⁹/₁₂ = 8,25
Стандардното отстапување:	σ ≈ 2,87

Забелешка: floor е математичка функција од ℝ во ℤ со floor(x)=„најголемиот цел број не поголем од х“.^[4]

Пример: Опитот е: Гаѓање по цел сè додека не погоди со веројатност на погодок p=0,6. Се запишува бројот на гаѓања.

Соодветен прекината (изброива) случајна променлива е: X={1,2,3,...,n,...}, т.е. X=ℕ. Веројатноста е: Pr(X=n)=0,4^n-1·0,6. (Ова е геометриската распределба G(0,6).)

PDF на опитот

CDF на опитот

X=k	1	2	3	...	12	...
Pr(X=k)=f(k)	0,6	0,24	0,096	...	0,000	...

x∈	(-∞,1)	[1,2)	[2,3)	[3,4)	...	[12,13)	...
Pr(X<x)=F(x)	0	0,6	0,84	0,936	...	1,000	...

f(k)=0,6\cdot 0,4^{k-1}\,\,\,\,\,k\in \mathbb {N}

F(x)=\left\{{\begin{array}{l}0\,\,\,\,\,x<0\\1-{0,4^{floor(x)}}\,\,x\geq 0\,\,\,\end{array}}\right.

PDF-от на опитот (Геогебра)

CDF-от на опитот (Геогебра)

Очекуваната вредност:	E(x) = ¹/_p=¹/_0,6 = 1,667
Дисперзијата:	σ² = ^(1-p)/_p² = ^(1-0,6)/_0,6² = 1,111
Стандардното отстапување:	σ = 1,054

Претставување на прекината распределба со Геогебра

Првите три дефиниции зависат од опитот. Сите дефиниции се внесуваат во полето за внос.

N=кардиналноста на Х (доколку е изброив, се избере некој конечен број).
list1=„X“
list2=„Pr(Х=x)“

Следните дефиниции се исти за сите прекинати случајни променливи.^[5]

list3=Sequence[(Element[list1,k],Element[list2,k]),k,1,N] Точките од Законот на распределбата. (PDF)
list4=Sequence[Sum[Take[list2, 1, k]], k, 1, N] Кумулативните вредности.
list5=Sequence[(Element[list1,k], Element[list4, k]), k, 1, N] Левите точки на отсечките. (CDF)
list6=Sequence[(Element[list1,k+1], Element[list4, k]), k, 1, N-1] Десните точки на отсечките.
list7=Sequence[Segment[Element[list5, k], Elementlist6, k, k, 1, N-1] Внатрешните отсечки. (CDF)
a=Segment[(Element[list1,1]-5,0),(Element[list1,1],0)] Почетната отсечка. (CDF)
b=Segment[(Element[list1, Length[list1]], 1), (Element[list1, Length[list1]] + 5, 1)] Крајната отсечка. (CDF)

Соодветните наредби на македонски (внимавајте на латиница и кирилица).

N=кардиналноста на Х (доколку е изброив, се избира некој конечен број).
листа1=„X“
листа2=„Pr(Х=x)“
листа3=Низа[(Елемент[листа1,k],Елемент[листа2,k]),k,1,N] PDF^[6]^[7]
листа4=Низа[Сума[ПодЛиста[листа2, 1, k]], k, 1, N] Кумулативните вредности.^[8]^[9]
листа5=Низа[(Елемент[листа1,k], Елемент[листа4, k]), k, 1, N] Левите точки на отсечките. (CDF)
листа6=Низа[(Елемент[листа1,k+1], Елемент[листа4, k]), k, 1, N] Десните точки на отсечките.
листа7=Низа[Отсечка[Елемент[листа5,k],Елементлиста6,k, k, 1, N-1] Внатрешните отсечки. (CDF)^[10]
a=Отсечка[(Елемент[листа1,1]-5,0),(Елемент[листа1,1],0)] Почетната отсечка. (CDF)
b=Отсечка[(Елемент[листа1, Должина[листа1]],1),(Елемент[листа1, Должина[листа1]]+5,1)] Крајната отсечка. (CDF)^[11]

Наводи

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Montgomery, D.; Runger, G. (2010). Applied statistics and probability for engineers, 5th ed., Chapter 3 (англиски). Wiley. стр. 784. ISBN 978-0470053041.
↑ Yates, D.; Moore, D.; Starnes, D. (2010). The practice of statistics, 4th ed., Chapter 7 (англиски). Freeman,NY. стр. 728. ISBN 978-1429245593.
↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Discrete random variable“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 660. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Floor and ceiling functions“ (англиски). Wikipedia.org. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ Стојановска, Л (2013). „Рамномерна Распределба - Дискретена“. Архивирано од изворникот на 2016-03-05. Посетено на October 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Низа“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Елемент“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Сума“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Подлиста“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Отсечка“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
↑ Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Должина“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

Поврзани теми

Надворешни врски

Leemis, L. (2007). „Univariate distribution relationships“ (англиски). William and Mary, VA, USA. Посетено на October 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)
Bogomolny, Alexander (2007). „Sample Spaces“ (англиски). cut-the-knot.org. Посетено на October 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)^{[мртва врска]} интерактивен

[ASPE-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Montgomery, D.; Runger, G. (2010). Applied statistics and probability for engineers, 5th ed., Chapter 3 (англиски). Wiley. стр. 784. ISBN 978-0470053041.

[2] Yates, D.; Moore, D.; Starnes, D. (2010). The practice of statistics, 4th ed., Chapter 7 (англиски). Freeman,NY. стр. 728. ISBN 978-1429245593.

[3] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Discrete random variable“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 660. Посетено на 1 септември 2013.

[4] „Floor and ceiling functions“ (англиски). Wikipedia.org. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[5] Стојановска, Л (2013). „Рамномерна Распределба - Дискретена“. Архивирано од изворникот на 2016-03-05. Посетено на October 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[6] Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Низа“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[7] Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Елемент“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[8] Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Сума“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[9] Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Подлиста“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[10] Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Отсечка“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[11] Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Должина“. Посетено на November 2013. Проверете ги датумските вредности во: |accessdate= (help)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]