Пол и полара

Во геометријата, пол и полара се соодветно точка и права кои имаат единствена реципрочна врска во однос на даден конусен пресек .

Поларата q на точка Q во однос на кружницата со радиус r и центар во точката O. Точката P е точката при инверзија на Q во однос на дадената кружница; поларата е правата низ P која е нормална на правата која ги содржи O, P и Q.

Поларната реципрочност во дадена кружница е трансформација на секоја точка од рамнината во нејзината полара и секоја права од рамнината во нејзиниот пол.

Својства

Полот и поларата имаат неколку корисни својства:

• Ако точката P лежи на правата l, тогаш полот L на правата l лежи на поларата p на точката P.
• Ако точката P се движи по права l, нејзината полара p се врти околу полот L од правата l.
• Ако може да се повлечат две тангентни прави од полот кон конусниот пресек, тогаш неговата полара поминува низ двете допирни точки.
• Ако точка лежи на конусниот пресек, нејзината полара е тангентата на конусниот пресек која минува низ оваа точка.
• Ако точката P лежи на сопствената полара, тогаш P е на конусниот пресек.
• Секоја права има, во однос на недегенериран конусен пресек, точно еден пол.

Специјален случај за кружници

Полот на правата L во кружницата C е точка Q која е инверзна во однос на C на точката P која лежи на L и е најблиску до центарот на кружницата. Спротивно на тоа, поларата (или поларната права) на точката Q во кружницата C е правата L таква што нејзината најблиска точка P до центарот на кружницата е инверзијата на Q во C.

Ако точката A лежи на поларната права q на друга точка Q, тогаш Q лежи на поларната права a на A. Поопшто, поларите на сите точки на правата q мора да минуваат низ неговиот пол Q.

Односот помеѓу половите и поларите е реципрочен. Така, ако точката A лежи на поларата q на точката Q, тогаш точката Q мора да лежи на поларата a на точката A. Двете поларни прави a и q не мора да бидат паралелни.

Постои уште еден опис на поларата на точка P во случај таа да лежи надвор од кружницата C. Во овој случај, има две прави низ P кои се тангенти на кружницата, а поларата на P е правата која ги спојува тие две допирни точки (не е прикажано овде). Ова покажува дека полот и поларата се концепти во проективната геометрија на рамнината и се генерализираат за кој било несингуларен коник на местото на кружницата C.

Поларна реципрочност

Илустрација на дуалноста помеѓу точките и правите и дуалното значење на „инциденцата“. Ако две прави a и k минуваат низ една точка Q, тогаш поларата q на Q ги поврзува половите A и K на правите a и k, соодветно.

Концептите пол и негова полара биле унапредени во проективната геометрија . На пример, поларата може да се гледа како збир на проективни хармонични конјугати на дадена точка, полот, во однос на некој коник. Операцијата на замена на секоја точка со нејзината полара и обратно е позната како поларност.

За некоја точка P и нејзината полара p, која било друга точка Q на p е пол на правата q која минува низ P. Ова е реципрочен однос и со него инциденците се зачувани.

Општи конусни пресеци

Правата p е полара на точката P, l на L и m на M

p е полара на точката P; m е поларата на М

Концептите пол, полара и реципрочност може да се генерализираат од кружници на други конусни пресеци како елипса, хипербола и парабола. Оваа генерализација е можна затоа што конусните пресеци произлегуваат од реципрочноста на кружница со друга кружница, а вклучените својства, како што се инциденцата и двојниот однос, се запазуваат при сите проективни трансформации .

Пресметување на поларата на точка

Општ конусен пресек може да се запише како равенка од втор степен во Декартови координати (x, y) на рамнината

$$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$$

каде A _xx, A _xy, A _yy, B _x, B _y и C се константите што ја дефинираат равенката. За таков конусен пресек, поларата на даден пол - точка (ξ, η) е дефинирана со равенката

$$Dx+Ey+F=0\,$$

каде што D, E и F се исто така константи кои зависат од координатите на полот (ξ, η)

$${\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}$$

Пресметување на пол на права

Полот на правата $Dx+Ey+F=0$, во однос на недегенерираниот конусен пресек

$$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$$

може да се пресмета во два чекора.

Прво, се пресметуваат броевите x, y и z од

$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}$$

Полот е точката со координати $\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$

Табели за пол-поларни односи

• Релација пол-полара за елипса
• Релација пол-полара за хипербола
• Релација пол-полара за парабола

коник	равенка	полара на точката $P=(x_{0},y_{0})$
кружница	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$
елипса	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$
хипербола	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$
парабола	$y=ax^{2}$	$y+y_{0}=2ax_{0}x$

коник	равенка	пол на правата u x + v y = w
кружница	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$\left({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}}\right)$
елипса	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	$\left({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}}\right)$
хипербола	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	$\left({\frac {a^{2}u}{w}},\;-{\frac {b^{2}v}{w}}\right)$
парабола	$y=ax^{2}$	$\left(-{\frac {u}{2av}},\;-{\frac {w}{v}}\right)$

Преку комплетен четириаголник

За дадени четири точки кои формираат комплетен четириаголник, правите кои ги поврзуваат точките се вкрстуваат во дополнителни три диагонални точки. За дадена точка Z која не е на коникот C, нацртајте две секанти низ Z кои го сечат C во точките A, B, D и E . Тогаш овие четири точки формираат комплетен четириаголник со Z како една од диагоналните точки. Правата која ги спојува другите две диагонални точки е поларата на Z, а Z е полот на оваа права.

Апликации

Половите и поларите биле дефинирани од Жозеф Диаз Жергон и играат важна улога при неговото решавање на задачата на Аполониј .

Во рамнинската динамика, полот е центар на ротација, поларата е линијата на дејство на силата, а коникот е матрицата маса-инерција. Односот пол-полара се користи за дефинирање на центарот на удари на рамнинско цврсто тело. Ако столбот е точката на шарката, тогаш поларата е ударната линија на дејство како што е опишано во рамнинската теорија на завртки .

Исто така види

• Дуален полигон
• Дуален полиедар
• Поларна крива
• Проективна геометрија
• Проективни хармонични конјугати

Библиографија

• Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications. стр. 100–105.
• Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). Geometry Revisited. Washington: MAA. стр. 132–136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
• Gray J J (2007). Worlds Out of Nothing: A Course in the history of Geometry in the 19th century. London: Springer Verlag. стр. 21. ISBN 978-1-84628-632-2.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. стр. 43–45. LCCN 59014456. Книжна верзија е издадена од Dover Publications со ISBN 978-0-486-41147-7.
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. стр. 190–191. ISBN 0-14-011813-6.

Надворешни врски

• Интерактивна анимација со повеќе полови и полари на Cut-the-Knot
• Интерактивна анимација со еден пол и неговата полара
• Интерактивна 3D со обоени повеќекратни полови/полари - отворен код
• „Polar“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• „Reciprocation“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• „Inversion pole“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• „Reciprocal curve“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)