Паралелност

Во геометријата, две (различни) прави се паралелни или напоредни ако лежат во иста рамнина и растојанието помеѓу нив останува исто по целата нивна должина.^[1]

Еквивалентно, две прави во рамнина се паралелни ако никогаш не се пресекуваат, т.е. немаат ниту една заедничка точка.^[2]

При цртање, за означување на паралелност, односно дека две прави се паралелни, наједноставно е да се црта нормална отсечка меѓу правите и да се означува со два прави агли.

Обопштување: Во тридимензионален простор, права и рамнина или две рамнини се паралелни ако немаат ниту една заедничка точка.

Означување

Симбол за паралелност е $\parallel$ . На пример, $AB\parallel CD$ значи дека правата AB е паралелна со правата CD.

Паралелност е симетрична особина, односно $AB\parallel CD$ е еквивалентно со $CD\parallel AB$ , па затоа едноставно велиме дека AB и CD се паралелни.
Паралелност е транзитивна особина. Ако $AB\parallel CD$ и $CD\parallel EF$ тогаш $AB\parallel EF$

Симбол за паралелност ∥ е уникод бројот 8741, а симбол за непаралелност ∦ е уникод бројот 8742. Соодветните хексадецимални броеви се 2225 и 2226. На мрежно место, т.е. во ХТМЛ се внесува ∥ или ∥ за паралелност и ∥ или ∦ за непаралелност.^[3] За внесување на овие симболи во текст уредувачите на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска на Alt+x.^[4]

Во LaTeX, ознаките се добиваат со командата \parallel $\parallel$ или \not\parallel $\not \parallel$ која е дел од пакетот wasysym.

Конструкција со шестар и линијар

Конструкција на паралела на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра.^[5]

Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права паралелна со дадена права m која минува низ дадена точка C која не лежи на m.^[6]

Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата.
Означи ја точката со буквата С.
Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
Нацртај права t која минува низ А и C. Таа ќе биде трансверзала помеѓу правите.
Со шестар нацртај една кружница со полупречник АС и центар С.
Означи ја другата пресечна точка на t со оваа кружница со буквата D.
Со шестар нацртај друга кружница со полупречник АB и центар С.
Со шестар нацртај трета кружница со полупречник CB и центар D.
Означи една од пресечни точки на втората и третата кружница со буквата Е.
Нацртај права CЕ која минува низ двете пресечни точки.

Правата CЕ врви низ С и е паралелна на правата АВ.

Паралелни прави и наклон

Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик како y=ax+b, тогаш коефициентот a на x е наклонот на правата.

Основна поставка: Две прави се паралелни ако го имаат истиот наклон и обратно. Види наклон.

Пример: Правите y=3x+2 и y=3x-3 се паралелни бидејќи наклонот на двете прави е a=3.

Пример: Правите y=x+3 и y=-2x+3 не се паралелни, бидејќи наклонот на првата права е a=1, а на втората права е a=-2 (двете прави врват низ точка (0,3), т.е. го имаат истиот пресек со y-оската).

Паралелни прави и систем на линеарни равенки

Во алгебра, линеарна равенка со две непознати е равенка на права во рамнина. Решение на систем на две линеарни равенки со две непознати се сите точки кои лежат на двете прави. Доколку нема ниту едно решение, правите се паралелни и обратно. (Доколку се совпаѓаат правите тогаш сите точки од правата се решенија (безбројно многу решенија)). Доколку се сечат правите, тогаш пресечната точка е единственото решение на системот. Види Систем линеарни равенки).

Пример: Системот y=3x+2 и y=3x-3 нема ниту едно решение. Значи правите се паралелни.

Пример: Системот y=x+3 и y=-2x+3 го има едно единствено решение (0,3), т.е. правите не се паралелни.

Растојание помеѓу две паралелни прави

Растојание помеѓу две паралелни прави (црна и сина). Испрекинатата црвена права е нормала!

По дефиниција на паралелни прави, растојанието помеѓу две паралелни прави останува исто по целата нивна должина, така што ова растојание е еднозначно определен број. Од друга страна, две паралелни прави го имаат истиот наклон.

y=ax+b_{1}\,

y=ax+b_{2}\,,

Растојание помеѓу овие две паралелни прави

\delta ={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {a^{2}+1}}}\,

Доказ: (без тригонометрија) За пресметување на растојание потребни се две точки кои се пресеците на (која било) нормална на двете прави и поединечните прави. За поедноставно, ја земеме нормалата која врви низ пресекот на втората права со у-оската, т.е. точката (0,b₂) така што оваа точка е и пресекот на нормалата со втората права. За другата точка C, ни треба пресекот на оваа нормала со првата права. Равенката на нормалата n e: y=(⁻¹/_m)x+b₂ (види права).

{\begin{cases}y={\tfrac {-1}{a}}x+b_{2}\\y=ax+b_{1}\end{cases}}

Решението на овој систем е точката

C=({\frac {a(b_{2}-b_{1})}{a^{2}+1}},{\frac {a^{2}\,b_{2}+b_{1}}{a^{2}+1}})

Растојанието помеѓу правите е растојанието помеѓу точките (0,b₂) и C e

\delta ={\sqrt {\left(-a\cdot {\tfrac {b_{2}-b_{1}}{a^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\tfrac {b_{2}-b_{1}}{a^{2}+1}}\right)^{2}}}={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {a^{2}+1}}}\,.

Доказ: (со тригонометрија): Наклонот a=tan(θ), a растојанието помеѓу правите е δ=|b₂-b₁| · cos(θ). Формулата следува од основниот тригонометриски идентитет: tan²(θ)+1=1/cos²(θ).

Формули со паралелни прави

Равенка на права која е паралелна на дадена права, а минува низ дадена точка. (Види и Формули за равенка на права.)

Нека е дадена точка С со координати С=(p,q) и права во експлицитен облик

y=ax+b

Равенка на права која е паралелна на дадената права, а минува низ дадената точка С е

y=a(x-p)+q

Пример: Дадена е правата y=2x-3 и точка С=(-2,-3). Равенката на права која е паралелна со дадената права и минува низ точката С е: y=2x+1

Трансверзала и паралелни прави

Види трансверзала.

Наводи

↑ „Parallel lines“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
↑ C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Parallel“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 581. Посетено на 1 мај 2014.
↑ „Unicode Entity Codes for Math“ (англиски). 2013. Архивирано од изворникот на 2013-11-27. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Unicode Input“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.
↑ Институт за Геогебра на МКД. „Конструкција на паралелна права низ точка која не лежи на права“. Архивирано од изворникот на 2018-07-19. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Construct Parallel Line“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен

Поврзано

Надворешни врски

Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Паралела“. Архивирано од изворникот на 2014-10-13. Посетено на 1 септември 2013.
„Parallel lines интерактивен“ (англиски). 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
„Constructing a parallel line through a given point with compass and straightedge“ (англиски). 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен

[1] „Parallel lines“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен

[2] C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Parallel“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 581. Посетено на 1 мај 2014.

[3] „Unicode Entity Codes for Math“ (англиски). 2013. Архивирано од изворникот на 2013-11-27. Посетено на 1 септември 2013.

[4] „Unicode Input“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.

[5] Институт за Геогебра на МКД. „Конструкција на паралелна права низ точка која не лежи на права“. Архивирано од изворникот на 2018-07-19. Посетено на 1 септември 2013.

[6] „Construct Parallel Line“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]