Наклон (математика)

Други изрази за наклон на права: коефициент на правец, градиент, косина

Наклон на една права е број кој прецизно го опишува правецот и стрмнината на правата.

Наклонот на линеарна функција $y(x)=ax+b$ е константната вредност $a$ . На пример, правата $y(x)=-2x+4$ има наклон $a=-2$ .^[1]
Наклонот a на права e мерило на правецот на правата.^[2]
- Ако a>0, т.е. ако a е позитивен број, тогаш правата оди нагоре надесно (линеарната функција монотоно расте). Стави ги твоите пари во оваа банка.
- Ако a<0, т.е. ако a е негативен број, тогаш правата оди надолу надесно (линеарната функција монотоно опаѓа). Банката опаѓа = пропаѓа.
- Ако a=0 тогаш функцијата ниту расте, ниту опаѓа, односно правата е хоризонтална (константна функција).
Апсолутната вредност на наклонот е мерило на стрмнината на правата.
- Ако |a|<1 тогаш наклонот е благ.
- Ако |a|>1 тогаш наклонот е остар.
- Ако |a|=1 тогаш наклонот е 1 спрема 1, т.е. 45°.
Ако а е наклонот на една права и точката (х,у) лежи на правата, тогаш лежи и точката (х+1, у+а).
Ако наклонот на две прави е ист, правите или се паралелни или се совпаѓаат (се преклопуваат).

Правец
Примери
$y=3x-2$	$y=-3x$	$y=-6x+100$	$y=0,001x+0,001$

$a=3$	$a=-3$	$a=-6$	$a=0,001$
$a=3>0$	$a=-3<0$	$a=-6<0$	$a=0,001>0$
позитивен наклон, расте	негативен наклон, опаѓа	негативен наклон, опаѓа	позитивен наклон, расте
Стрмнина
$\|a\|=3>1$	$\|a\|=3>1$	$\|a\|=6>1$	$\|a\|=0,001<1$
стрмна	стрмна	стрмна	блага (100-пати поблага од што е прикажана. (Размерот е 100:1)

Пример за примена на наклон: Брзината $v=v(t)$ на предмет истрелен директно нагоре со почетна брзина $v_{0}$ се опишува со линеарната функција: $v(t)=-9.81t+v_{0}$ [m/s], каде што 9,81 [m/s²] e гравитациска константа, a $v_{0}$ е почетна брзина. Тука времето t ја игра улогата на независно променливата х, а брзината v ја игра улогата на зависно променливата y. Коефициентот пред t, односно наклонот на функцијата е $a=-9.81$ . Според горе наведената дефиниција на наклон ова значи: за секое зголемување на времето t за 1, брзината v на предметот опаѓа за 9,81 [m/s]. На пример, ако $v_{0}=0$ (предметот е испуштен без почетна брзина), после 1 секунда брзината на предметот е -9,81[m/s], после 2 секунди брзината е -19,62[m/s],... Ова одговара на физиката, односно предметот паѓа побрзо и побрзо.

Графичко претставување на права со наклон

Нека е дадена равенката на една права во екплицитен облик: $y(x)=ax+b$ .

Пресекот на правата со у-оската е точката (0,b). Внеси ја оваа точка во координатниот систем.
Тргнувајќи од таа точка, оди хоризонтално надесно за растојание 1, па потоа вертикално за растојание а и тоа нагоре ако a>0 или надолу ако a<0. Оваа точка ги има координатите (0+1,b+a)=(1,b+a).^[3]
Сега имаме две точки, па ја цртаме соодветната права.

Забелешки:

Доколку правата е зададена во друг облик, или треба да се постави во експлицитен облик (решејќи ја равенката за у) или да се користи друг метод за графичко претставување (на пример, табела со замена на две вредности). Целта е секогаш истата, т.е. најде две посебни точки, па цртај ја правата.
Поради тоа што на права задена во експлицитен облик, веднаш се воочуваат и наклонот a и у-пресекот b, честопати овој облик се нарекува наклон-пресек облик.
При константна функција у=b, наклонот е а=0. Нацртај ја точката (0,b), па одејќи хоризонтално надесно за растојание 1, па вертикално 0 (ниту нагоре, ниту надолу) се добива втора точка (1,b) на истата хоризонатала со у-пресекот. Споејќи ги двете точки се добива хоризонтала права (како што треба).

Наклон:

a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\Theta )

Пресметување на наклон

a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

каде што Δy се чита промена на y и Δх се чита промена на х.

За две точки (x₁,y₁) and (x₂,y₂) имаме Δх=x₂ − x₁, додека Δу=y₂ − y₁. Многу е битно да се запази редоследот во заменувањето на вредностите, т.е. „втората - првата“. (Види и Формули за равенка на права.)

a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

е формулата за пресметување на наклон.^[4]

Оваа формула не работи за вертикални прави x=c поради тоа што сите точки на оваа права ја имаат истата х-кооридината со што именителот на наклонот е 0. Пишуваме а=∞, а велиме дека наклонот не е дефиниран.

Наклон на паралела

Две прави се паралелни, т.е. две прави немаат ниту една заедничка точка ако и само ако наколните на двете прави е ист број. Види паралелни прави.

Наклон на нормала

Нормала на една права во одредена точка е друга права која врви низ дадената точки и е нормална на првата права, т.е. правите се сечат под прав агол. Независно од зададената точка, ако наклонот на првобитната права е а, тогаш наклонот на нормалата е ^-1⁄_a. Види нормални прави.

Пресметување на наклон

Примери

Пример: Една права врви низ точките: P = (1, 2) and Q = (13, 8). Наклонот на правата е $a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}$ , а користејќи ги формулите за равенка на права следува дека равенката на правата низ P и Q e: $y={\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{2}}$ односно $y=0,5x+1,5$ .

Пример: Уште еден пример за правата која врви низ точки A(4, 15) и B(3, 21). Наклонот на правата ${\overset {\longleftrightarrow }{AB}}$ е: $a={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6$ , а равенката на правата е: $y=-6x+39$ .

Напомена: Поимот наклон на права има смисла само во 2-димензионален простор (рамнина); наклон на права во 3-димензионален простор нема смисла.

Наклон на пат или железничка пруга

Наклонот $a$ на пат или железничка пруга може да се опише со агол во степени или со процент каде што клучно е дека 100%=45°.^[5] Формулите за меѓусебно претворување се:

\Theta =\arctan({\frac {a}{100\%}})\,,

и

a=100\%\cdot \tan(\Theta ),\,

каде што Θ е во степени.

Понекогаш се користат промили каде што 100%=1000‰. Трет начин за опишување на наклон е 1 единица нагоре (вертикално) спрема 10, 20, 50 или 100 хоризонтални единици, на пример 1:10. 1:20, 1:50 or 1:100 итн. Забележете дека 1:10 е пострмно од 1:100.

Пример: Стрмнина од 10% значи дека патот е 1:10, односно дека е под агол 5,7°.

Знак за внимание во Холандија

Знак за внимание во Полска

Железнички знак во Чешка
со 20‰ = 2% наклон

Во секоја точка извод е наклонот на права која е тангентата на кривата во таа точка.

Наклон и диференцијално сметање

Во математичката дициплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод, а извод на една функција ја мери брзината на промена на една променлива во однос на друга во секоја точка.

Наклон на права и извод

Кај линеарна фунцкија брзината на промената на у во односно на х е константна, т.е. иста во сите точки, односно е а за сите (реални) вредности х, и пишуваме изводот на у(x)=ax+b постои секаде и е константната функција у'(x)=a. Се разбира дека оваа форумула важи и за константна функција y=b, односно права каде што наклон е 0. Тука нема никаква промена во функцијата, следува дека изводот е 0 во секоја точка и имаме у'(x)=0.

Наклон на тангента на функција

Сега нека y=f(x) е функција од една реална променлива х, т.е. f:R→R и нека f(x) е диференцијабилна (има извод) во точката (x₀,f(x₀)). Тогаш тангентата на функцијата во точката х₀ постои, е права, врви низ точката (x₀,f(x₀)) и има наклон f'(x₀). Користејќи ја стандардната нотација каде што $y_{0}=f(x_{0})$ и $y'_{0}=f'(x_{0})$ и следува дека равенката на тангентата на f(x) во оваа точка е: $y=y'_{0}(x-x_{0})+y_{0}$ .

Наклон на нормала на функција

Испрекината црвена права е тангентата, а точкеста кафеава права е нормалата во точката.

Користејќи ги истите услови и означување како во погорното, равенката на нормалата на f(x) во точката (х₀,y₀) е: $y={\frac {-1}{y'_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}$ .

Пример: Нека е дадена квадратната функција $y=x^{2}+3x+2$ . Оваа функција е диференцијабилна секаде (во секоја точка) со извод: $y'=2x+3$ .

За х₀= -2,5, вредноста на функцијата е: y₀= 0,75 и вредноста на изводот е: y'₀= -2.

Во точката (-2,5; 0,75), равенката на тангентата е: $y=-2\cdot (x-(-2,5))+0,75$ односно $y=-2x-4,25$ , а равенката на нормалата е: $y={\frac {1}{2}}x+2$ . (Нема врска дека нормалата ја пресекува функцијата во у-пресекот. Така се погодиле броевите.)

Наводи

↑ Gelfand; Glagoleva; Shnol (2002). Functions and Graphs (англиски). Dover Books. ISBN 978-0486425641.
↑ „Slope Slider Activity“ (англиски). Shodor Educational Foundation, Inc. Посетено на 1 септември 2013./
↑ Стојановска, Л. (2009). „Линеарна Функција“. Архивирано од изворникот на 2013-03-02. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен со видео објаснување
↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 348–349. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Slope“ (англиски). Wikipedia. 2013. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзани теми

Надворешни врски

Стојановска, Л. (2009). „Линеарна Функција“. Архивирано од изворникот на 2013-03-02. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен со видео објаснување
Bogomolny, A. (2010). „Equations of a Straight Line“ (англиски). Cut-the-Knot. Посетено на 1 септември 2013. интерактивнa
Стефановска, Л. (2012). „Равенки на тангента и нормала на крива“. Connexions. Посетено на 1 септември 2013.

[1] Gelfand; Glagoleva; Shnol (2002). Functions and Graphs (англиски). Dover Books. ISBN 978-0486425641.

[2] „Slope Slider Activity“ (англиски). Shodor Educational Foundation, Inc. Посетено на 1 септември 2013./

[3] Стојановска, Л. (2009). „Линеарна Функција“. Архивирано од изворникот на 2013-03-02. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен со видео објаснување

[Oxford-4] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 348–349. Посетено на 1 септември 2013.

[5] „Slope“ (англиски). Wikipedia. 2013. Посетено на 1 септември 2013.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]