Накрсно множење

Накрсно множење — математичка операција, особено применливо во основната аритметика и елементарната алгебра, за равенки меѓу две дропки или рационални изрази, чие користење е со цел да се поедностави равенката или да се одреди вредноста на променливата.

Примери

Дадена е равенката:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

(каде b и d не се нула), накрсното множење дава:

$ad=bc\qquad \mathrm {or} \qquad a={\frac {bc}{d}}.$

Во Евклидовата геометрија истиот резултат може да се постигне со користење на односи слично како кај триаголникот.

Постапка

Во пракса, методот на накрсно множење значи да го помножиме броителот на секоја (или една) страна со именителот на другата страна со вкрстување:

${\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}}\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.$

Математичко оправдување за методот е од следната математичка постапка. Ако почнеме со основната равенка:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

Можеме да ја помножиме секоја страна со ист број и равенството нема да се промени. Значи, ако дропките на секоја страна ги помножиме со bd, добиваме:

${\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.$

можеме дропката да ја скратиме, бидејќи двете $b$ на левата страна можат да се скратат, како и двете поновувања d, па останува:

$ad=bc$

и можеме двете страни на равенката да ги поделиме со кој било елемент – во овој случај се зема d, па се добива:

$a={\frac {bc}{d}}.$

Друго оправдување на накрсното множење е следното. Да ја земеме равенката:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

ако ја помножиме со dd = 1 на левата и со bb = 1 на десната страна, добиваме:

${\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}}$

и така:

${\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.$

со кратење на заедничките именители bd = db, ни останува:

$ad=cb.$

Секој чекор во овие постапки е заснован на единствено, основно својство на равенките. Накрсното множење е скратен пат, лесно разбирлива процедура која ја учат учениците.

Употреба

Накрсното множење е вообичаена процедура во математиката која се користи за да ги скрати дропките или да ја пресмета вредноста на променливата во дропката. Ако имаме равенка, каде x е променлива:

${\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}}$

можеме да користиме накрсно множење за нејзино одредување:

$x={\frac {bc}{d}}.$

На пример, сакаме да знаеме колку ќе помине автомобил за 7 часа ако знаеме дека неговата брзина е константна и дека веќе изминал 90 километри во последните 3 часа. Со претворање на проблемот во пропорција добиваме:

${\frac {x}{7\ \mathrm {h} }}={\frac {90\ \mathrm {km} }{3\ \mathrm {h} }}.$

Со накрсно множење се добива:

$x={\frac {7\ \mathrm {h} \times 90\ \mathrm {km} }{3\ \mathrm {h} }}$

и така:

$x=210\ \mathrm {km} .$

И поедноставни равенки како што се:

$a={\frac {x}{d}}$

Се решаваат со користење на накрсно множење, недостасува членот b кој имплицитно е еднаков на 1: се решавају коришћењем унакрсног множења, недостаје b члан који је имплицитно једнак 1:

${\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.$

Која било равенка која содржи дропки или рационални изрази може да се поедностави со множење на двете страни со најмалиот заеднички содржател. Овој чекор се нарекува „дерационализација“.

Тројно правило

Тројното правило е скратена верзија за одреден облик на накрсно множење кое учениците го учат напамет. Во францускиот наставен план тоа е застапено во програмата за средно образование.

За равенките во облик:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}}$

Каде променливата која се пресметува е десниот именител, тројното правило е:

$x={\frac {bc}{a}}.$

Во тој контекст, a се нарекува „крајна“ пропорција, а b и c се нарекуваат „средства“.

Ова правило им било познато на Евреите уште од XV век п.н.е. како посебен случај на Кал ва-хомер. Исто така им било познато на индиските (ведски) математичари во VI век п.н.е. како и на кинеските математичари пред VII век п.н.е., додека во Европа почнува да се користи многу подоцна.

Литература

• Cocker, Edward (1702). Cocker's Arithmetick. London: John Hawkins. стр. 103.
• Kangshen, Shen; Crossley, John N; Anthony W.-C. Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press.

Надворешни врски

• Накрсно множење на Ризницата ^?