Лоренцови преобразби

Лоренцови преобразби — преобразби именувани според холандскиот физичар Хендрик Лоренц. Тие се резултат на обидите на Лоренц и останатите да објаснат како брзината на светлината била набљудувана независно од појдовниот систем, и да ги разберат симетриите на законите на електромагнетизмот. Лоренцовите преобразби се во согласност со Специјалната теорија за релативноста, но биле изведени пред Специјалната теорија за релативноста.

Преобразбите објаснуваат како мерењата поврзани со настаните на двајца набљудувачи во инерцијалните системи движејќи се со постојана брзина еден кон друг, се поврзани. Тие го одразуваат фактот дека набљудувачите движејќи се со различна брзина можат да измерат различни растојанија, дилатација на времето, па дури и различен тек на настани. Тие ги истиснуваат Галилеевите преобразби на Њутновата физика, која ги презема апсолутниот простор и време. Галилеевите преобразби ја претставуваат приближната релативна брзина која е многу помала од брзината на светлината.

Лоренцовата преобразба е линиска преобразба. Може да го вклучува вртењето во просторот; безвртежната Лоренцова преобразба се нарекува Лоренцов поттик.

Во Минковскиевиот простор, Лоренцивите преобразби го зачувуваат време-просторниот интервал помеѓу двата настани. Тие ја објаснуваат само преобразбата во која време-просторниот настан од каде што се започнува е неподвижен. Може да се сметаат за хиперболични вртења во Минковскиевиот простор. Поопштиот сет на преобразби кои, исто така, вклучуваат поместувања се познати како Поенкареова група.

Историја

Главна статија: Историја на Лоренцовите преобразби

Многу физичари, вклучувајќи ги Волдемар Воигт, Џорџ Фицџералд, Џозеф Лармор и Хендрик Лоренц дискутирале за физиката опфатена од овие равенки уште од 1887 година. На почетокот на 1889 година, Оливер Хевисајд покажал од Максвеловите равенки дека електричното поле кое има сферична распределба на полнежот, не треба да има сферична симетрија кога полнежот е во движење релативно на етерот. Тогаш Фитцџералд претпоставил дека резултатот на Хевисајдовата дисторзија би можела да се примени во теоријата на меѓумолекулските сили. Неколку месеци подоцна, Фитцџералд го објавил својот труд во кој телата во движење се контрахирани, со цел да го објасни збунувачкиот исход од 1887 година од Мајкелсон-Морлиевиот обид за постоењето на етерот. Во 1892 година, Лоренц ја претставил истата идеја, но на подетален начин, која била наречена Фитцџералд-Лоренцова хипотеза за контракцијата. За нивното објаснување се знаело пред 1905 година.

Лоренц (1892-1904) и Лармор (1897-1900) кои верувале во постоењето на етерот, биле во потрага на преобразба според која Максвеловите равенки ќе бидат непроменливи, кога се премине од етерот во подвижен систем. Тие ја прошириле Фицџералд-Лоренцовата хипотеза на контракцијата и откриле дека временските интервали исто така треба да бидат изменети („месно време“).Анри Поенкаре дал физичка интерпретација за месното време како последица на синхронизацијата на часовникот, под претпоставка дека брзината на светлината е постојана во системите на движење. Ламор се смета за првиот кој ја разбрал временската дилатација својствена во неговите равенки.

Во 1905 година, Поенкаре бил првиот кој препознал дека преобразбата има својства на математичка група, и ја именувал според Лоренц. Подоцна во истата година, Алберт Ајнштајн ја објавил Специјалната теорија за релативноста, која произлегува од Лоренцовите преобразби под претпоставките на принципот на релативноста и постојаноста на брзината на светлината во сите инерцијални појдовни системи, и со напуштање на механичкиот етер.

Изведување

Повеќе информации: Изведување на Лоренцовите преобразби

Од Ајнштајновиот втор постулат за релативност следува:

$c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0$

во сите појдовни системи за настани поврзани со светлосни сигнали. Настан е нешто што се случува во одредено место и во одредено време и во сите инерцијални појдовни системи може да биде претставен со временската координата t при што се користат декартови координати: x, y, z. Интервалот помеѓу било кои два појдовни системи е непроменлив. Во преобразбата:

$c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}'-z_{1}')^{2}.$

каде t, x, y, z се координати во време-просторот и се користат за опишат настан во еден појдовен систем, и t′, x′, y′, z′ се координати во друг појдовен систем. Се воочува дека:

$t_{2}'-t_{1}'\neq t_{2}-t_{1}\,,$

Гледано како линиско решение:

$c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}$

Врската помеѓу време-просторните координати со прим и без прим се всушност Лоренцови преобразби, секоја координата во еден појдовен систем е функција од сите координати од другиот појдовен систем, а инверзните функции се инверзните преобразби.

Лоренцовите преобразби се линиски преобразби и можат да се претстават со матрици.

Поттик

Подолу, Лоренцовите преобразби се наречени "поттици" во наведените насоки. "Поттик" значи релативно движење со константа брзина.

Поттик во Декартови насоки

Параметризирање на брзината

Време-просторните координати на настанот, мерени од секој набљудувач во својот инерцијален појдовен систем, се претставени во облаците за говорење.
Горе: системот F′ се движи со брзина v кон x-оска на системот F.
Доле: системот F се движи со брзина −v кон x′-оска на системот F′.

„Неподвижен“ набљудувач во системот F ги опишува настаните со координати t, x, y, z. Друг систем F′ се движи со брзина v релативна на F, и набљудувачот во овој „движечки“ систем F′ ги опишува настаните со координати t′, x′, y′, z′.

Координатните оски во секој систем се парални (x и x′ оските се паралелни, y и y′ оските се паралелни, z и z′ оските се паралелни), остануваат заемно нормални и релативното движење по должина се совпаѓа со xx′ оската. Кога t = t′ = 0, почетокот на двата координатни системи е ист, (x, y, z) = (x′, y′, z′) = (0, 0, 0).

Која е промената помеѓу овие координатни системи? Ако набљудувач во F евидентира настан t, x, y, z, потоа набљудувач во F′ го евидинтира истиот настан со координати

Лоренцов поттик (x насока) ${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

каде v релативната брзина помеѓу системите во x-насоката, c е брзината на светлината, и

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

(мало гама) е Лоренцовиот фактор.

Инверзен лоренцов поттик (x насока) ${\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z',\end{aligned}}$

и вредоста на γ останува непроменета.

За просторни разлики и временски интервали, што следуваат од линераноста на Лоренцовите преобразби дека доколку се одберат две вредности од координатите за просторот и времето, може да се запишат Лоренцовите преобразби за секоја од нив, а потоа одземат за да се добијат разликите од Лоренцовите преобразби;

$\Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,$

$\Delta x'=\gamma \left(\Delta x-v\Delta t\right)\,,$

со инверзна релација

$\Delta t=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,$

$\Delta x=\gamma \left(\Delta x'+v\Delta t'\right)\,.$

каде Δ (Делта) укажува на разликата на величините, пр. Δx = x₂ − x₁ за двете вредности на x координатите итн.

Лоренцовите преобразби имаат две дејства кои иако се контрадикторни, се точни во склоп на специјалната теорија за релативноста.

• Временска дилатација. Во систем F′ со поттик релативен на друг систем F, временските интервали се подолги во F′ отколку во F. Ако временските интервали се мерени во иста точка во F, така што Δx = 0, тогаш Δt′ = γΔt.
• Контракција на должината. Во систем F′ со поттик релативен на друг систем F, должините на просторните интервали се пократки во F′ отколку во F. Ако просторната должина се мери во еден момент од времето во F′, така што Δt′ = 0, тогаш Δx = γΔx′.

Понекош е полесно да се користи β = v/c (мало бета) наместо v, така што

${\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{aligned}}$

што покажува појасна симетрија во поттикот. Од дозволениот опсег на v и дефиницијата на β, дозволените вредности за β се −1 < β < 1. Користењето на β и γ е стандард низ литературата.

Лоренцов поттик во Декартовите насоки.

Горенаведените равенки важат само за поттик во x-насока. За поттик кон yy′ оска, со користење на β = v/c,

${\begin{aligned}ct'&=\gamma (ct-\beta y)\\x'&=x\\y'&=\gamma (y-\beta ct)\\z'&=z\end{aligned}}$

и за поттик кон zz′ оска

${\begin{aligned}ct'&=\gamma (ct-\beta z)\\x'&=x\\y'&=y\\z'&=\gamma (z-\beta ct)\end{aligned}}$

Инверзните преобразби се добиваат со заменување на прим и не-прим залихите и негирање на β.

Бидејќи Лоренцовите преобразби се линеарни преобразби, може да се напишат во матрици. Поттик кон xx′ оска со брзина v, и користење на β = v/c

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

поттик кон yy′ оска

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&-\beta \gamma &0\\0&1&0&0\\-\beta \gamma &0&\gamma &0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

и поттик кон zz′ оска

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&0&-\beta \gamma \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\beta \gamma &0&0&\gamma \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

Инверзните преобразби на матрицисе со поттик кон xx′ оска

${\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\beta \gamma &0&0\\\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}$

и така натаму за останатите насоки.

Да замислиме дека имаме три системи наместо два. Ако системот F′ е зголемен со брзина v₁ релативна на системот F насочена кон xx′ оска, и друг систем F′′ кој е зголемен со брзина v₂ релативна на F′ насочена кон x′x′′ оска, тогаш

${\begin{bmatrix}ct''\\x''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{2}&-\gamma _{2}\beta _{2}\\-\gamma _{2}\beta _{2}&\gamma _{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct'\\x'\end{bmatrix}}\,,\quad {\begin{bmatrix}ct'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&-\gamma _{1}\beta _{1}\\-\gamma _{1}\beta _{1}&\gamma _{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}}\,,$

$\beta _{1}={\frac {v_{1}}{c}}\,,\quad \gamma _{1}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta _{1}^{2}}}}\,,\quad \beta _{2}={\frac {v_{2}}{c}}\,,\quad \gamma _{2}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}}\,.$

${\begin{bmatrix}ct''\\x''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta \\-\gamma \beta &\gamma \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{1}\gamma _{2}(1+\beta _{2}\beta _{1})&-\gamma _{1}\gamma _{2}(\beta _{1}+\beta _{2})\\-\gamma _{1}\gamma _{2}(\beta _{1}+\beta _{2})&\gamma _{1}\gamma _{2}(1+\beta _{2}\beta _{1})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}}\,,$

$\gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}(1+\beta _{2}\beta _{1})\,,$

$\gamma \beta =\gamma _{1}\gamma _{2}(\beta _{1}+\beta _{2})\,,$

$\beta ={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{2}\beta _{1}}}\,.$

Ова важи ако се зголемува должината на истите насоки како и да се присутни (не само на заеднички x насоки во ист систем, но во сите насоки).

Замисли пак дека има три системи наместо два, но овој пат ако системот F′ е зголемен со брзина v₁ релативна на F насочена кон yy′ оска, и друг систем F′′ е зголемен со брзина v₂ релативна на F′ насочена кон z′z′′ оска, тогаш

${\begin{bmatrix}ct''\\x''\\y''\\z''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{2}&0&0&-\beta _{2}\gamma _{2}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\beta _{2}\gamma _{2}&0&0&\gamma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&-\beta _{1}\gamma _{1}&0\\0&1&0&0\\-\beta _{1}\gamma _{1}&0&\gamma _{1}&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

и релацијата помеѓу системите F′′ и F е

${\begin{bmatrix}ct''\\x''\\y''\\z''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{1}\gamma _{2}&0&-\beta _{1}\gamma _{1}\gamma _{2}&-\beta _{2}\gamma _{2}\\0&1&0&0\\-\beta _{1}\gamma _{1}&0&\gamma _{1}&0\\-\beta _{2}\gamma _{1}\gamma _{2}&0&\beta _{1}\beta _{2}\gamma _{1}\gamma _{2}&\gamma _{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

Ако системот F′ е зголемен со брзина v₂ релативна на системот F насочена кон zz′ оска, и дриг систем F′′ е зголемен со брзина v₁ релативна на F′ насочена кон y′y′′ оска, тогаш

${\begin{bmatrix}ct''\\x''\\y''\\z''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&-\beta _{1}\gamma _{1}&0\\0&1&0&0\\-\beta _{1}\gamma _{1}&0&\gamma _{1}&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{2}&0&0&-\beta _{2}\gamma _{2}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\beta _{2}\gamma _{2}&0&0&\gamma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

и релацијата помеѓу системите F′′ и F е

${\begin{bmatrix}ct''\\x''\\y''\\z''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{1}\gamma _{2}&0&-\beta _{1}\gamma _{1}&-\beta _{2}\gamma _{1}\gamma _{2}\\0&1&0&0\\-\beta _{1}\gamma _{1}\gamma _{2}&0&\gamma _{1}&\beta _{1}\beta _{2}\gamma _{1}\gamma _{2}\\-\beta _{2}\gamma _{2}&0&0&\gamma _{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

што повторно не е единствен поттик, туку поттик пред или после едно свртување.

Параметризација на брзината

Миговниот полудвижечки систем насочен кон светста линија на брзо забрзување на набљудувачот (центар). Вертикалната насока го покажува времето, додека хоризонталната го покажува растојанието, испрекинатата линија е време-просторната траекторија ("светска линија") на набљудувачот. Малите точки се настани во време-просторот. Ако некој ги замисли овие настани да бидат трепкање на светлниа, тогаш настаните што ќе ги поминат двете дијагонални линии во долната половина од сликата (минатото светлосен конус од набљудувачот во потеклото) настаните се видливи за набљудувачот. Наклонот на светстата линија (деривација поради тоа што е вертикална) ја дава релативната брзина на набљудувачот. Имај предвид како моменталниот полудвижечки инерцијален систем се менува кога набљудувачот забрзува.

Лоренцовата преобразба може да се добие од начин што наликувана кружно вртење во 3Д просторот користејки ги хиперобличните функции. За поттикот во x насока, резултатите се

Лоренцов поттик (x насока на брзина ζ) ${\begin{aligned}ct'&=ct\cosh \zeta -x\sinh \zeta \\x'&=x\cosh \zeta -ct\sinh \zeta \\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

каде ζ (мало зета) е параметар наречен брзина (се користат и други ознаки, како ϕ, φ, η, ψ, ξ). Давајќи ја големата сличност на вртењата во просторните координати на 3Д просторот (во Декартовиот систем, или во Декартовите оски), Лоренцовата преобразба ќе претставува хиперболично вртење од време-просторни координати во 4Д Минковскиев простор. Параметарот ζ претставува хиперболичен агол на вртење, аналогно со обичниот агол во кружно вртење. Оваа преобразба може да биде илустрирана со Минковскиев дијаграм.

Хиперболичната функција произлегува од разликата помеѓу квадратите од времето и просторните координати во равенката за светлосен пулс, во согласност со идентитетот

$\cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,,$

Користејќи ја дефиницијата

$\tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,$

последива од овие две хиперболичен формули е идентитетот што го прави Лоренцовиот фактор

$\cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.$

Споредувајќи ја Лоренцовата преобразба во одност на релативната брзина или користејќи ги горенаведените формули, поврзаноста помеѓу β, γ, и ζ се

$\beta =\tanh \zeta \,,$

$\gamma =\cosh \zeta \,,$

$\beta \gamma =\sinh \zeta \,.$

Земајќи ги инверзните хиперболичен тангенти ја даваат брзината

$\zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.$

Бидејќи −1 < β < 1, следува −∞ < ζ < ∞. Позитивна брзина ζ > 0 е релативно движење (кон позитивната страна на xx′ оска), нулта брзина ζ = 0 не е релативно движење, додека негативна брзина ζ < 0 е релативно движење во спротивна насока (кон негативната страна на xx′ оска).

Овој дијаграм ја покажува инверзната кунфигурација на F′ "стацинарна" додека F е зголемен кон негативна x′ насока, сепак точно ја дава изворната преобразба бидејќи координатите ct, x од F се проектирани на координатите ct′, x′ од F′. Настанот (ct, x) = (8, 6) во F одговара со приближно (ct′, x′) ≈ (5.55, 1.67) во F′, со брзина ζ ≈ −0.66. Имај предвид дека разликата на должината и времето, така што брзината на светлината е инваријантна (непроменлива).

Геометриското значење на хиперболитичката функција може да биде забележана ако земеме x = 0 или ct = 0 во преобразбата. Од тие, една ќе произлезе со хиперболичен кривини од константни координатни величини но различна ζ која ги параметризира кривините. Спротивно на ct и x оските може да се конструираат различни координати, но константа ζ.

Инверзните преобразби во параметризација на брзината се правопропорционални; како и размена на прим и неприм количествата, негираната брзината ζ → −ζ е еднаква со негативната релативна брзина, која ја следи релацијата помеѓу ζ и β. Затоа,

Инверзен Лоренцов поттик (x насока на брзина ζ) ${\begin{aligned}ct&=ct'\cosh \zeta +x'\sinh \zeta \\x&=x'\cosh \zeta +ct'\sinh \zeta \\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}$

Овој дијаграм ја покажува оригиналната конфигурација на F "стационарна" додека F′ е зголемен кон позитивната x насока, иако точно ги дава инверзните преобразби, бидејќи координатите ct′, x′ од F′ се проектирани во координатите ct, x од F. Настанот (ct′, x′) = (8, 6) во F′ одговара со приближно (ct, x) ≈ (14.3, 13.28) во F, со брзина ζ ≈ +0.66. Повторно, разликата во должината и времето е тоа што брзината на светлината е инваријантна (непроменлива).

Инверзната преобразба може слично да се прикаже со разгледување на случаите кога x′ = 0 и ct′ = 0.

Односите на брзината може да се заменат со зголемени матрици насочени кон Декартовите насоки во претходната секција. Дополнителна информација е дека брзини ќе се додадат за да се добие делокупната брзина, наспроти релативните брзини. Ако систем F′ е зголемен со брзина ζ₁ релативна на системот F насочена кон xx′ оска и друг систем F′′ е зголемен со брзина ζ₂ релативна на F′ насочена кон x′x′′ оска, па така

${\begin{bmatrix}ct''\\x''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \zeta _{2}&-\sinh \zeta _{2}\\-\sinh \zeta _{2}&\cosh \zeta _{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct'\\x'\end{bmatrix}}\,,\quad {\begin{bmatrix}ct'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \zeta _{1}&-\sinh \zeta _{1}\\-\sinh \zeta _{1}&\cosh \zeta _{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}}\,,$

потоа ζ₁ + ζ₂ е брзина од целокупното зголемување на F′′ релативно на F,

${\begin{bmatrix}ct''\\x''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh(\zeta _{1}+\zeta _{2})&-\sinh(\zeta _{1}+\zeta _{2})\\-\sinh(\zeta _{1}+\zeta _{2})&\cosh(\zeta _{1}+\zeta _{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}}\,,$

и релативните брзини се поврзани со брзините со

$\beta =\tanh(\zeta _{1}+\zeta _{2})\,,\quad \beta _{1}=\tanh \zeta _{1}\,,\quad \beta _{2}=\tanh \zeta _{2}\,.$

Ова важи и ако зголемувањата се насочени во иста насока како и да се тука. Покрај тоа, хиперболиченот идентитет

$\tanh(\zeta _{1}+\zeta _{2})={\frac {\tanh \zeta _{1}+\tanh \zeta _{2}}{1+\tanh \zeta _{1}\tanh \zeta _{2}}}$

се совпаѓа со резултантната релативна брзина од двете релативни брзини насочени во иста насока.

Поттик во сите насоки

Параметризација на насоката на брзината v

Поттик во произволна насока, положбениот вектор кој е мерен во сите системи е подолун на компоненти паралелни и нормални на векторот на релативната брзина v. Лево: Стандрадна конфигурација. Десно: Инверзна конфигурација.

Поттик во арбитарна насока зависи од целосната релативна векторска брзина v која има величина |v| = v. Набљудувач во систем F набљудува како F′ се движи со релативна брзина v, додека набљудувач во F′ набљудува како F се движи со релативна брзина −v. Координатните оски во секој систем се паралелни и ортогонални. Величината од релативната брзина |v| = v не може да биде еднаква или да надмине c, па затоа 0 ≤ v < c. Векторот аналогно од β е β = v/c и соодветно неговата величина |β| = β не може да биде еднаква или да надмине 1, па затоа 0 ≤ β < 1.

Повторно се претпоставува стандардната конфигурација, па затоа t = t′ = 0, системите се совпаѓаат на почетокот, r = r′ = 0.

За преобразбите во x, y и z оските, координатите нормални на релативното движење остануваат непроменети, додека тие паралелни на релативното движење се менуваат заедно со временската координата. Поради оваа причина, погодно е да се распадне просторниот положбенен вектор r = (x, y, z) кој се мери во F, и r′ = (x′, y′, z′) се мери во F′, секој во компоненти нормално и паралелно на v = (v_x, v_y, v_z),

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,$

каде ‖ претставува "паралелно" до v и ⊥ претставува "нормално" до v.

На преминот од поттик во било кој од Декартовите насоки, на пример x насоката, до поттик во сите насоки може да се направи од идентификациите

$\mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x}\,,\quad \mathbf {r} _{\parallel }=x\mathbf {e} _{x}\,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}\,,$

каде e_x, e_y, e_z се Декартови основни вектори, збир на меѓусебно нормални единици вектори насочени кон нивните посочени насоки. Тогаш Лоренцовите преобразби ја заземаат формата

$t'=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)$

$\mathbf {r} _{\|}'=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)$

$\mathbf {r} _{\perp }'=\mathbf {r} _{\perp }$

каде • претставува крукчест производ. Лоренцовиот фактор γ ја задржува дефиницијата како поттик во сите насоки, бидејќи зависи само од величината на релативната брзина v, а не од насоките.

Овие преобразби се векторски равенки, па затоа се вистинити во сите насоки. Преобразбата помеѓу целиот положбенен вектор r и r′ ќе се конструира исто од таму. Паралелниот компонент може да се пронајде со векторска проекција

$\mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

а нормалниот компонент со векторско отфрлање

$\mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

каде n = v/v = β/β е единица вектор во насока на v. Процедурата за r′ е идентична. Единицата вектор има предност за поедноставување равенки за единечен поттик, дозволува v или β да биде практично воведена, со што ја прави алтернативната параметризација полесна. Тоа не е погодно за повеќето поттици. Релативната брзина е v = vn со величина v и насока n. Со комбинирање на резултатите се добива

$\mathbf {r} '=-\gamma tv\mathbf {n} +(\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {n} \mathbf {n} )\cdot \mathbf {r} \,,$

каде I е единица дјадик и nn е дјадик продукт од n со самиот себе. Идентитетите I · r = r и nn · r = n(n · r) проследено со дефиницијата за крукче и дјадик производ. Сепак, дјадик тензори се архаични формализам речиси никогаш неискористливи во овој контекст.

Лоренцов поттик (во насока n со величина v) $t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,$ $\mathbf {r} '=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \,.$

Има три бројки кои го определуваат Лоренцовиот поттик во секоја насока, една за величината v и две за насоката n, а во Декартовите компоненти на релативната брзина на вектор v = (v_x, v_y, v_z).

Веоведувајќо ги ред и колона векторите

$\mathbf {r} '={\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {n} ={\begin{bmatrix}n_{x}\\n_{y}\\n_{z}\\\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {n} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}n_{x}&n_{y}&n_{z}\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}$

каде T укажува на транспонирана матрица, матрична форма на крукче производ е

$\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} \leftrightarrow \mathbf {n} ^{\mathrm {T} }\mathbf {r}$

и Лоренцовите преобразби може да бидат запишани во блок матрица од каде што

${\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r} '\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta \mathbf {n} ^{\mathrm {T} }\\-\gamma \beta \mathbf {n} &\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {n} \mathbf {n} ^{\mathrm {T} }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}\,$

каде I е 3×3 индетична матрица. Векторите на колоните и редовите n и n^T и нивните производи nn^T имаат потекло во поттик генераторите. Овој вид на блок матрица е корисно за прикажување на општата форма компактно и ја илустрира зависноста на насоките и величината во поттикот. За наводи, целата форма е експлицитна

${\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta n_{x}&-\gamma \beta n_{y}&-\gamma \beta n_{z}\\-\gamma \beta n_{x}&1+(\gamma -1)n_{x}^{2}&(\gamma -1)n_{x}n_{y}&(\gamma -1)n_{x}n_{z}\\-\gamma \beta n_{y}&(\gamma -1)n_{y}n_{x}&1+(\gamma -1)n_{y}^{2}&(\gamma -1)n_{y}n_{z}\\-\gamma \beta n_{z}&(\gamma -1)n_{z}n_{x}&(\gamma -1)n_{z}n_{y}&1+(\gamma -1)n_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,.$

Инверзните преобразби се лесни за да се добијат, како секогаш се заменуваат прим со неприм величини и се негира релативната брзина(која е релативно движење во спротивна насока), v → −v, што исто така се сведува на негирање на единица векторот n → −n, бидејќи величината v е секогаш позитивна,

Инверзен Лоренцов поттик (во насока n со величина v) $t=\gamma \left(t'+{\frac {\mathbf {r} '\cdot v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right)\,,$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} '+(\gamma -1)(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} +\gamma t'v\mathbf {n} \,,$

кој во форма на матрица е

${\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\gamma \beta \mathbf {n} ^{\mathrm {T} }\\\gamma \beta \mathbf {n} &\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {n} \mathbf {n} ^{\mathrm {T} }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r} '\end{bmatrix}}\,.$

Параметризација на насоката на брзината ζ

За да се дојде до параметризација на насоката на брзината, изразите γ = coshζ и γβ = sinhζ ќе се вметнат во сите горенаведени брзинско-параметризирани формули. Две дополнителни детали се, дека со користење на истиот единечен вектор n = v/v = β/β, векторската релативност помеѓу брзините е

${\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,$

а "брзинскиот вектор" ќе се пресмета со

${\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \$

Величината на ζ е апсолутна вредност од брзинскиот скалар |ζ| = |ζ| ограничен до 0 ≤ ζ < ∞, кој се согласува со растојанието 0 ≤ β < 1. Насоката на ζ е секогаш паралелна со n и обратно релативната брзина уште соодветствува со промена на насоката на n а со тоа и ζ.

Општи Лоренцови преобразби: комбинирани зголемувања и вртења

Друг начин да се добие поттик на арбитрарана насока е да се ротираат  координати во поттик заедно кон насока за која Лоренцова преобразба е едноставна и позната, а потоа да ја изведе таа Лоренцова преобразба, потоа да ја сврти назад; сумирано од

$B'=R_{1}BR_{2}$

каде

$R_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} _{1}\end{bmatrix}}\,,\quad R_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} _{2}\end{bmatrix}}\,,$

од каде R₁ и R₂ се 3D вртежни матрици само на просторните координати, оставајќи ги временските компоненти непроменети. На пример, B може да биде Лоренцов поттик насочек кон еден од x, y, или z насоките.

Поттик и вртежни матрици

Лоренцовите преобразби, при форма на матрица, компонентите од четерите позиција се подредени во колона вектори и Лоренцовите преобразби означени со Λ (Грчко големо Ламбда) можат секогаш да бидат компактно напишани како равенка од единечна матрица во форма

$X'=\Lambda X\,.$

Сите "чисти" Лоренцови преобразби ја имаат оваа форма, а тие што ја немаат, вклучуваат дополнително поместување во време-просторот.

Општата вртежна матрица е

$R(\mathbf {e} ,\theta )={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {I} +\mathbf {E} ^{2}(1-\cos \theta )+\mathbf {E} \sin \theta \end{bmatrix}}\,,$

а општата матрица со поттик е

$B(\mathbf {n} ,\zeta )={\begin{bmatrix}\cosh \zeta &-\mathbf {n} ^{\mathrm {T} }\sinh \zeta \\-\mathbf {n} \sinh \zeta &\mathbf {I} +(\cosh \zeta -1)\mathbf {n} \mathbf {n} ^{\mathrm {T} }\\\end{bmatrix}}\,.$

Општата инверзна вртежна матрица е

$R(\mathbf {e} ,\theta )^{-1}=R(\mathbf {e} ,-\theta )=R(-\mathbf {e} ,\theta )\,.$

слично на општата матрица со поттик е

$B(\mathbf {n} ,\zeta )^{-1}=B(\mathbf {n} ,-\zeta )=R(-\mathbf {n} ,\zeta )\,.$

Последователни преобразби се применуваат на левата страна. Две вртења се уште едно вртење

$R_{2}(\mathbf {e} _{2},\theta _{2})R_{1}(\mathbf {e} _{1},\theta _{1})=R_{3}(\mathbf {e} _{3},\theta _{3})\,,$

но тие не се комутативни освен ако вртењата се наоѓаат на исти оски,

$R_{2}(\mathbf {e} ,\theta _{2})R_{1}(\mathbf {e} ,\theta _{1})=R_{1}(\mathbf {e} ,\theta _{1})R_{2}(\mathbf {e} ,\theta _{2})=R(\mathbf {e} ,\theta _{1}+\theta _{2})\,.$

Два поттика насочени кон различни насоки (не колинеарни еден на друг) прават поттик проследен со вртење, наместо уште еден единечен поттик,

$B_{2}(\mathbf {n} _{2},\zeta _{2})B_{1}(\mathbf {n} _{1},\zeta _{1})=B(\mathbf {n} ,\zeta )R(\mathbf {e} ,\theta )\,,$

меѓутоа два поттика насочени кон иста насока прават поттик насочен кон таа насока без вртење, и се комутативни,

$B_{2}(\mathbf {n} ,\zeta _{2})B_{1}(\mathbf {n} ,\zeta _{1})=B_{1}(\mathbf {n} ,\zeta _{1})B_{2}(\mathbf {n} ,\zeta _{2})=B(\mathbf {n} ,\zeta _{1}+\zeta _{2})\,,$

Нај општа Лоренцова преобразба Λ е поттик и вртење, и двете можат да се извршат пред другата, но добиените резултати се различни, бидејќи поттикот и вртежните матрици не се менуваат.

Еден важен аспект на поттикот и вртежните матрици е дека тие градат група ${\mathcal {L}}$, бидејќи

• операција на композиција се дефинира (овде множење на матрици),
• поттици и вртења се Лоренцови преобразби, производот од било кои две (две свртувања, два поттика, едно вртење и еден поттик,) е исто Лоренцова преобразба, па множеството од овие матрици е затворено под оваа операција на композиција,

$R(\mathbf {e} ,\theta )\in {\mathcal {L}}\,,\quad B(\mathbf {n} ,\zeta )\in {\mathcal {L}}\,,$

$R(\mathbf {e} ,\theta )B(\mathbf {n} ,\zeta )\in {\mathcal {L}}\,,\quad B(\mathbf {n} ,\zeta )R(\mathbf {e} ,\theta )\in {\mathcal {L}}\,,$

• има идентичен елемент, на пример без поттик и вртење, кои и двете опаѓаат во 4Д идентична матрица,

$R(\mathbf {e} ,0)=B(\mathbf {n} ,0)=\mathbf {I} \in {\mathcal {L}}\,,$

• има инверзни елементи,

$R(\mathbf {e} ,-\theta )R(\mathbf {e} ,\theta )=\mathbf {I} \,,\quad R(\mathbf {e} ,-\theta )\in {\mathcal {L}}\,,$

$B(\mathbf {n} ,-\zeta )B(\mathbf {n} ,\zeta )=\mathbf {I} \,,\quad B(\mathbf {n} ,-\zeta )\in {\mathcal {L}}\,,$

• дадено три преобразби, секоја со секого може да биде вртежна и/или поттик, композицијата е асоцијативна, на пример

$R_{2}(BR_{1})=(R_{2}B)R_{1}=R_{2}BR_{1}\,.$

R и B матрици се елементи во Лоренцовата група. Параметрите се континуирано променливи. Бројот на параметри во група од шест, бидејќи три се за поттикот и три за вртењето, затоа Лоренцовата група е шестдимензионална.

Генератори на Лоренцова група

Генераторите од Лоренцовата група се оператори кои соодветно одговараат со важни симетрии во време-просторот: вртежнте генератори' се физички аголни моменти,

$J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

и поттик генераторите соодветно одговараат со движењето во системот на време-просторот,

$K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}$

во квантна механика, релативистична квантна механика и квантна теорија на поле, разлиќна ковенција се корсити за генераторите; тие се множат со фактор од замислената единица i = √−1.

Општиата матрица на поттик ќе се добие од генераторите:

$B(\mathbf {n} ,\zeta )=e^{-\zeta \mathbf {n} \cdot \mathbf {K} }=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}$

и со негација на брзината во експоненциалните, ја дава инверзна

$B(\mathbf {n} ,-\zeta )=e^{\zeta \mathbf {n} \cdot \mathbf {K} }=I+\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}\,.$

Општата вртежна матрица е еднаква со Родрригезова вртежна формула

$R(\mathbf {e} ,\theta )=e^{\theta \mathbf {e} \cdot \mathbf {J} }=I+\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )^{2}$

и со негација на аголот се добива инверзна

$R(\mathbf {e} ,-\theta )=e^{-\theta \mathbf {e} \cdot \mathbf {J} }=I-\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )^{2}\,.$

Тензор формулација

Главна статија: Representation theory of the Lorentz group

За the notation used, видете Ricci calculus.

Пишувајќи ја општата преобразба на матрицата

${\begin{bmatrix}{X'}^{0}\\{X'}^{1}\\{X'}^{2}\\{X'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Lambda ^{0}{}_{0}&\Lambda ^{0}{}_{1}&\Lambda ^{0}{}_{2}&\Lambda ^{0}{}_{3}\\\Lambda ^{1}{}_{0}&\Lambda ^{1}{}_{1}&\Lambda ^{1}{}_{2}&\Lambda ^{1}{}_{3}\\\Lambda ^{2}{}_{0}&\Lambda ^{2}{}_{1}&\Lambda ^{2}{}_{2}&\Lambda ^{2}{}_{3}\\\Lambda ^{3}{}_{0}&\Lambda ^{3}{}_{1}&\Lambda ^{3}{}_{2}&\Lambda ^{3}{}_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X^{0}\\X^{1}\\X^{2}\\X^{3}\end{bmatrix}}$

во тензор индекс нотација се дозволува преобразба од други физички количини кои неможат да се изразат како четири-вектори, на пример тензори или спинори во 4Д време-просорот, што треба да се дефинираат,

${X'}^{\alpha }=\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }X^{\beta }\,,$

каде горниот и долниот индекс означуваат коваријациони и контраваријациони компоненти соодветно и сума конвенцијата е додадена. Тоа е стандардна конвенција да користи Грчки индекси со што се зема вредноста 0 за временските компоненти и 1, 2, 3 за просторните компоненти, додека кај Латинските индекси се земаат вредностите 1, 2, 3, за просторни компоненти.

Интервал на време-просторот

Во даден координатен систем x^μ, ако два настана 1 и 2 се одвоени со

$(\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)=(t_{2}-t_{1},x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})\ ,$

време-просторниот интервал помеѓу нив е

$s^{2}=-c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\ .$

Ова може да се напише и во друга форма со помош на Геометрија на Минковски. Во овој координатен систем,

$\eta _{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\ .$

Тогаш, ние ќе напишеме

$s^{2}={\begin{bmatrix}c\Delta t&\Delta x&\Delta y&\Delta z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\Delta t\\\Delta x\\\Delta y\\\Delta z\end{bmatrix}}$

или користејќи го Ајнштајнова конвенција на сумата,

$s^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }\ .$

Сега да замислиме дека правиме координатна преобразба x^μ → x′ ^μ. Тогаш, интервалот во координатниот систем е даден со

$s'^{2}={\begin{bmatrix}c\Delta t'&\Delta x'&\Delta y'&\Delta z'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\Delta t'\\\Delta x'\\\Delta y'\\\Delta z'\end{bmatrix}}$

или

$s'^{2}=\eta _{\mu \nu }x'^{\mu }x'^{\nu }\ .$

Тоа е резултат на просторна релативност, така што интервалот е инваријантен. За ова да држи вода, ќе биде прикажано дека е потребно и доволно за координатна преобразба да биде од формата

$x'^{\mu }=x^{\nu }\Lambda _{\nu }^{\mu }+C^{\mu }\ ,$

каде C^μ е константен вектор и Λ^μ_ν константна матрица, каде што ние бараме

$\eta _{\mu \nu }\Lambda _{\alpha }^{\mu }\Lambda _{\beta }^{\nu }=\eta _{\alpha \beta }\ .$

Ваква преобразба е наречена Пионкаре преобразба или нехомогена Лоренцова преобразба. C^a претставува време-просторна транслација. Кога C^a = 0, преобразбата е наречена хомогена Лоренцова преобразба или кратко Лоренцова преобразба.

Со преземање на детерминантата од

$\eta _{\mu \nu }{\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }=\eta _{\alpha \beta }$

ни дава

$\det(\Lambda _{b}^{a})=\pm 1\ .$

Случаите се:

• Соодветна Лоренцова преобразба има det(Λ^μ_ν) = +1 и формира подгрупа наречена специјална ортогонална група SO(1,3).
• Несоодветна Лоренцова преобразба се det(Λ^μ_ν) = −1, кои не формираат подгрупа, бидејќи производот на било кои две несоодветни Лоренцови преобразби ќе биде соодветна Лоренцова преобразба.

Од горенаведената дефиницја за Λ се покажува дека (Λ⁰₀)² ≥ 1, па така

• Λ⁰₀ ≥ 1, е наречена ортохронолна преобразба или
• Λ⁰₀ ≤ −1, е наречена неортохронолна преобразба.

Важна подгрупа од соодветните Лоренцови преобразби се соодветни ортохронални Лоренцови преобразби кои се содржат чисто од зголемувања и вртења. Секоја Лоренцова преобразба може да биде напишана како соодветна ортохронална, заедно со една или двете дискретни преобразби; просторна инверзија P и временски пресврт T, кои различни од 0 елементи се:

$P_{0}^{0}=1,P_{1}^{1}=P_{2}^{2}=P_{3}^{3}=-1$

$T_{0}^{0}=-1,T_{1}^{1}=T_{2}^{2}=T_{3}^{3}=1$

Поинкаре преобразбите ги задоволува својствата на групата наречена Пионкаре група. Под Ерланген програмата, Минковски просторот може да се забележи како геометрија дефинирана од Пионкаре групата, која ги комбинира Лоренцовите преобразби со транслации. На сличен начин, сите Лоренцови преобразби формираат група, наречена Лоренцова група.

Неменливо количество под Лоренцови преобразби е познато како Лоренцов скалар.

Преобразба на други физички количества

Преобразната матрица е универзална за сите четири-вектори, не само за 4-димензионалните време-просторни координати. Ако A е секој четири-вектор, тогаш во тензор индекс нотација

$A^{\alpha '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\alpha }A^{\alpha }\,.$

во која индексите со прим означуваат индекси од A во прим систем.

Поопшто, преобразбата од секое тензор количество T е дадено со:

$T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }\cdots \Lambda ^{\zeta '}{}_{\rho }\Lambda _{\theta '}{}^{\sigma }\Lambda _{\iota '}{}^{\upsilon }\cdots \Lambda _{\kappa '}{}^{\zeta }T_{\sigma \upsilon \cdots \zeta }^{\mu \nu \cdots \rho }$

каде Λ_χ′^ψ е инверзна матрица од Λ^χ′_ψ.

Преобразба во електромагнетно поле

Лоренцовите преобразби може да се користат за да се илустрира дека магнетно и електрично поле едноставно се различни аспекти на истата сила — електромагнетна сила, како последица на релативно движење помеѓуелектрични полнежи и набљудувачи. Фактот дека електромагнетно поле покажува релативистички ефекти станува јасно со спроведување на едноставен експеримент.

• Замисли набљудувач мери полнеж за време на мирување во појдовен систем F. Набљудувачот ќе детектира статично електрично поле. Бидејќи полнежот е стациониран во системот, нема електрична струја, односно набљудувачот нема да набљудува магнетно поле.
• Замисли друг набљудувач во појдовен систем F′ се движи со брзина v (релативна на F и полнежот). Овој набљудувач ќе види друго електрично поле бидејќи полнежот се движи со брзина −v во нивниот неподвижен систем. Понатаму, во системот F′ полнежот што се движи претставува елекрична струја, па така набљудувачпт во системот F′ исто така ќе види магнетно поле.

Ова покажува дека Лоренцовите преобразби исто така се однесуваат на електромагнетни полиња при промена на појдовен систем.

Поврзано

• Ричи калкулус
• Електромагнетно поле
• Галилееви преобразби
• Хиперболично вртење
• Инваријатна механика
• Лоренцова група
• Репрезентациона теорија на Лоренцова група
• Принцип на релативност
• Дополнителна формула за брзината
• Алгебра за физика-простор
• Релативистичка аберација
• Комплексен број

Наводи

Мрежни страници

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1996), A History of Special Relativity
• Brown, Harvey R. (2003), Michelson, FitzGerald and Lorentz: the Origins of Relativity Revisited

Дополнителна литература

• Einstein, Albert (1961), Relativity: The Special and the General Theory, New York: Three Rivers Press (објав. 1995), ISBN 0-517-88441-0
• Ernst, A.; Hsu, J.-P. (2001), „First proposal of the universal speed of light by Voigt 1887“ (PDF), Chinese Journal of Physics, 39 (3): 211–230, Bibcode:2001ChJPh..39..211E, Архивирано од изворникот (PDF) на 2011-07-16
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004), Classical dynamics of particles and systems (5. изд.), Belmont, [CA.]: Brooks/Cole, стр. 546–579, ISBN 0-534-40896-6
• Voigt, Woldemar (1887), „Über das Doppler'sche princip“, Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen, 2: 41–51

Надворешни врски

• Derivation of the Lorentz transformations. This web page contains a more detailed derivation of the Lorentz transformation with special emphasis on group properties.
• The Paradox of Special Relativity Архивирано на 6 декември 2006 г.. This webpage poses a problem, the solution of which is the Lorentz transformation, which is presented graphically in its next page.
• Relativity Архивирано на 29 август 2011 г. – a chapter from an online textbook
• Warp Special Relativity Simulator. A computer program demonstrating the Lorentz transformations on everyday objects.
• Animation clip на YouTube visualizing the Lorentz transformation.
• Lorentz Frames Animated from John de Pillis. Online Flash animations of Galilean and Lorentz frames, various paradoxes, EM wave phenomena, etc.