Лоренцов скалар

Во релативистичката теорија на физиката, Лоренцовиот скалар е израз, формиран од предмети од теоријата, која евалуира на скалар, непроменлив под каква било Лоренцова трансформација. Лоренцовиот скалар е генериран од на пр., скаларен производ на вектори, или од тензорите на теоријата. Додека компонентите на векторите и тензорите се вообичаено променети со Лоренцовите трансформации, Лоренцовиот скалар останува непроменет.

Лоренцовиот скалар не секогаш се смета дека е непроменлив скалар во математичка смисла, но добиената скаларна вредност е непроменлива под било која основна трансформација применета на векторскиот простор, на кој се заснова разгледуваната теорија. Едноставен Лоренцов скалар во Минковскиев простор е растојание во просторот ("должина" од нивната разлика) на два фиксни настани во просторот. Додека "позицијата" -4-вектори на настаните се менуваат помеѓу различните инерцијални рамки, нивното растојание во просторот останува непроменето под соодветната Лоренцова трансформација. Други примери за Лоренцов скалар се "должината" на 4-брзини (види подолу), или Ричиево искривување во точка во просторот од Општата теорија за релативноста,која е контракција на тензорот на Римановата кривина .

Едноставни скалари во специјалната релативност

Должината на положбениот вектор

Светски линии за две честички со различни брзини.

Во специјалната теорија за релативноста локацијата на честичка во 4-димензионалниот простор е дадена со

$x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )$

каде $\mathbf {x} =\mathbf {v} t$ е положбата во 3-димензионалниот простор на честичката, $\mathbf {v}$ е брзината во 3-димензионалниот простор и $c$ е брзината на светлината.

"Должината" на векторот е Лоренцов скалар и е даден со

$x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}$

каде $\tau$ е вистинско време мерено со часовник во остатокот од рамката на честичката и Минковскиевата метрика е дадена со

$\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$.

Ова е метрика слична на времето.

Често е употребен алтернативниот потпис на Минковскиевата метрика во кој знаците на оние се обратни.

$\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$.

Ова е метрика слична на просторот.

Во Минковскиевата метрика просторот како интервал $s$ е дефиниран како

$x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}$.

Ние ја користиме Минковскиевата метрика слична на просторот и во останатиот дел од поглавјето.

Должината на векторот на брзината

Вектори на брзина во просторот за честичка со две различни брзини. Во релативноста, забрзувањето е еквивалентно на ротацијата во просторот

Брзината во просторот е дефинирана како

$v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)$

каде

$\gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}$.

Магнитудата на 4-брзина е Лоренцов скалар,

$v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,$.

Оттука, c е Лоренцов скалар.

Внатрешниот производ на забрзувањето и брзината

4-забрзување го дава

$a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }$.

4-забрзување е секогаш нормално на 4-брзина

$0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }$.

Затоа, можеме да го сметаме забрзувањето во просторот како едноставна ротација на 4-брзина. Внатрешниот производ на забрзувањето и брзината е Лоренцов скалар и е нула. Оваа ротација е едноставно израз на конзервација на енергија:

${dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot {\mathbf {v} }$

каде $E$ е енергијата на честичката и $\mathbf {F}$ е 3-сила на честичката.

Енергија, останатата маса на честичката, 3-импулс и 3 брзина од 4-импулс

4-импулс на честичката е

$p^{\mu }=mv^{\mu }=\left(\gamma mc,\gamma {m\mathbf {v} }\right)=\left(\gamma mc,{\mathbf {p} }\right)=\left({E \over c},{\mathbf {p} }\right)$

каде $m$ е останатата маса на честичката, $\mathbf {p}$ е импулс во 3-простор, и

$E=\gamma mc^{2}\,$

е енергијата на честичката.

Мерење на енергијата на честичката

Да се разгледа втората честичка со 4-брзина $u$ и 3-брзина $\mathbf {u} _{2}$. Во остатокот од рамката на втората честичка внатрешниот производ $u$ with $p$ е пропорционален на енергијата на првата честичка

$p_{\mu }u^{\mu }=-{E_{1}}$

каде индексот 1 ја означува првата честичка.

Врската е точна во остатокот од рамката на втората честичка, таа е точна во секоја референтна рамка. $E_{1}$, енергијата на првата честичка во рамката на втората честичка е Лоренцов скалар. Затоа,

${E_{1}}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}$

во било која инерцијална референтна рамка, каде $E_{1}$ сè уште е енергијата на првата честичка во рамката на втората честичка.

Мерење на останатата маса на честичката

Во остатокот на рамката на честичката, внатрешниот производ на импулсот е

$p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,$.

Затоа, останатата маса (m) е Лоренцов скалар. Врската останува точна независно од рамката во која се пресметува внатрешниот производ. Во многу случаи останатата маса е запишана како $m_{0}$ за да се избегне забуна со релативистичката маса, која е $\gamma m_{0}$

Мерење на 3-импулс на честичката

Забележи го следново

$\left(p_{\mu }u^{\mu }/c\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}$.

Квадратот на магнитудата на 3-импулсот на честичката, мерена во рамките на втората честичка, е Лоренцов скалар.

Мерење на 3-брзина на честичката

3-брзина, во рамката на втората честичка, може да се конструира од два Лоренцови скалари.

$v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={{\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}c^{4}} \over {E_{1}^{2}}}$.

Покомплицирани скалари

Скаларите, исто така, може да се конструираат од тензорите и векторите, од контракцијата на тензорите(како $F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$), или комбинации на контракции на тензори и вектори (како $g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$).

Наводи

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.