Во математиката , полиномната равенка од втор степен се вика квадратна равенка . Општиот облик на равенката е:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
Графикони на реалните квадратни функции ax 2 + bx + c . Секој коефициент варира посебно Во равенката a , b и c се коефициенти, при што a ≠ 0 , додека самата равенка е равенка по променлива x . Името е дадено според степенот на водечкиот коефициент.
Квадратните равенки често се јавуваат во математиката, но и во другите природни и технички науки.
уреди
Решението на квадратната равенка е целосно определено со изразот:
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
што значи дека квадратната равенка има две решенија. Решението се добива на следниов начин:
Дадена ни е равенката:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
Ја делиме равенката со a . Ова е дозволено бидејќи по услов a ≠ 0 и добиваме:
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}
Согласно формулата за бином на квадрат:
(
A
+
B
)
2
=
A
2
+
2
A
B
+
B
2
{\displaystyle (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}}
на левата страна на равенката додаваме и одземаме
b
2
4
a
2
{\displaystyle {\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}
x
2
+
b
a
x
+
c
a
+
b
2
4
a
2
−
b
2
4
a
2
=
0
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=0}
(
x
2
+
b
a
x
+
b
2
4
a
2
)
+
c
a
−
b
2
4
a
2
=
0
{\displaystyle \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+{\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=0}
(
x
2
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
2
=
0
{\displaystyle \left(x^{2}+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}=0}
од каде се добива:
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}
Ја коренуваме равенката и конечно се добива:
x
+
b
2
a
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
x
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
−
b
2
a
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
уреди
Во решението на квадратната равенка фигурира изразот:
D
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
кој се нарекува дискриминанта на квадратната равенка. Според нејзиниот знак може да се одреди природата на решенијата на равенката. Имено:
ако D>0 , равенката има две реални и различни решенија,
ако D<0 , равенката има комплексно-конјугирани решенија, и
ако D=0 , равенката има двојно реално решение, т.е. има две идентични решенија.
уреди
Ако е зададена квадратната равенка:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
која има решенија условно означени со x1 и x2 , тогаш равенката може да ја запишеме како:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}
Ваквото презапишување на равенката се вика факторизација на квадратната равенкаразложување на квадратната равенка на линеарни множители . Овој процес е честопати корисен при решавање на конкретни задачи и проблеми.
За решенијата на квадратната равенка важат следниве равенства:
x
1
+
x
2
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}
x
1
⋅
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}}
кои се нарекуваат виетови формули за квадратна равенка (т.е. полином од втор степен) и претставуваат специјален случај на општата Виетова теорема .
уреди
Равенките од облик:
a
x
2
n
+
b
x
n
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0}
може да се сведат на квадратни, ако се стави смената:
y
=
x
n
{\displaystyle y=x^{n}}
со која првичната равенка се сведува на равенка од облик:
a
y
2
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle ay^{2}+by+c=0}
која се решава според погорните формули. Решенијата на почетната равенката се добиваат кога ќе се пресмета n -ти корен од обете решенија на трансформираната равенка. На овој начин се добиваат 2n решенија, онолку колку што и треба да има. Специјално, за n=2 , равенката е од облик:
a
x
4
+
b
x
2
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}
и таа се нарекува биквадратна равенка , која јасно има четири решенија.
Да се реши равенката:
2
x
2
+
4
x
−
6
=
0
{\displaystyle 2x^{2}+4x-6=0}
Според формулата имаме:
x
1
,
2
=
−
4
±
4
2
−
4
⋅
2
⋅
(
−
6
)
2
⋅
2
=
−
4
±
64
4
=
−
4
±
8
4
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-4\pm {\sqrt {4^{2}-4\cdot 2\cdot (-6)}}}{2\cdot 2}}={\frac {-4\pm {\sqrt {64}}}{4}}={\frac {-4\pm 8}{4}}}
x
1
=
−
4
+
8
4
=
4
4
=
1
{\displaystyle x_{1}={\frac {-4+8}{4}}={\frac {4}{4}}=1}
x
2
=
−
4
−
8
4
=
−
12
4
=
−
3
{\displaystyle x_{2}={\frac {-4-8}{4}}={\frac {-12}{4}}=-3}
Значи решенија на равенката се: x1 =1 и x2 =-3
Да се реши равенката:
x
2
−
6
x
+
13
=
0
{\displaystyle x^{2}-6x+13=0}
Имаме:
x
1
,
2
=
6
±
36
−
52
2
=
6
±
−
16
2
=
6
±
16
⋅
i
2
2
=
6
±
4
i
2
=
3
±
2
i
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {6\pm {\sqrt {36-52}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {-16}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {16\cdot \mathrm {i} ^{2}}}}{2}}={\frac {6\pm 4\mathrm {i} }{2}}=3\pm 2\mathrm {i} }
x
1
=
3
+
2
i
{\displaystyle x_{1}=3+2\mathrm {i} }
x
2
=
3
−
2
i
{\displaystyle x_{2}=3-2\mathrm {i} }
Добиените решенија се комплексно конјугирани.
Да се реши равенката:
x
4
−
24
x
2
−
25
=
0
{\displaystyle x^{4}-24x^{2}-25=0}
Оваа равенка е биквадратна. Ставаме замена:
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
и равенката се сведува на квадратна равенка од облик:
y
2
−
24
y
−
25
=
0
{\displaystyle y^{2}-24y-25=0}
За решенијата на оваа равенка имаме:
y
1
,
2
=
24
±
576
+
100
2
=
24
±
26
2
{\displaystyle y_{1,2}={\frac {24\pm {\sqrt {576+100}}}{2}}={\frac {24\pm 26}{2}}}
y
1
=
24
+
26
2
=
25
{\displaystyle y_{1}={\frac {24+26}{2}}=25}
y
2
=
24
−
26
2
=
−
1
{\displaystyle y_{2}={\frac {24-26}{2}}=-1}
Ова се решенијата на квадратната равенка (т.е. на трансформацијата на биквадратната равенка). Но, бидејќи:
y
=
x
2
,
{\displaystyle y=x^{2},}
тогаш:
x
=
y
{\displaystyle x={\sqrt {y}}}
Така се добиваат четири решенија, и тоа:
x
1
,
2
=
y
1
{\displaystyle x_{1,2}={\sqrt {y_{1}}}}
x
3
,
4
=
y
2
{\displaystyle x_{3,4}={\sqrt {y_{2}}}}
Конечно, решенијата на биквадратната равенка се:
x
1
=
+
y
1
=
25
=
5
{\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {y_{1}}}={\sqrt {25}}=5}
x
2
=
−
y
1
=
−
25
=
−
5
{\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {y_{1}}}=-{\sqrt {25}}=-5}
x
3
=
+
y
2
=
−
1
=
i
{\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {y_{2}}}={\sqrt {-1}}=\mathrm {i} }
x
4
=
−
y
2
=
−
−
1
=
−
i
{\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {y_{2}}}=-{\sqrt {-1}}=-\mathrm {i} }
