Квадратна равенка

(Пренасочено од Квадратна формула)

Во математиката, полиномната равенка од втор степен се вика квадратна равенка. Општиот облик на равенката е:

Во равенката a, b и c се коефициенти, при што a ≠ 0, додека самата равенка е равенка по променлива x. Името е дадено според степенот на водечкиот коефициент.

Квадратните равенки често се јавуваат во математиката, но и во другите природни и технички науки.

Решавање на квадратната равенкаУреди

Решението на квадратната равенка е целосно определено со изразот:

 

што значи дека квадратната равенка има две решенија. Решението се добива на следниов начин:

Дадена ни е равенката:

 

Ја делиме равенката со a. Ова е дозволено бидејќи по услов a ≠ 0 и добиваме:

 

Согласно формулата за бином на квадрат:

 

на левата страна на равенката додаваме и одземаме  :

 
 
 

од каде се добива:

 

Ја коренуваме равенката и конечно се добива:

 
 

Дискриминанта и зависност на решенијата од дискриминантатаУреди

Во решението на квадратната равенка фигурира изразот:

 

кој се нарекува дискриминанта на квадратната равенка. Според нејзиниот знак може да се одреди природата на решенијата на равенката. Имено:

  • ако D>0, равенката има две реални и различни решенија,
  • ако D<0, равенката има комплексно-конјугирани решенија, и
  • ако D=0, равенката има двојно реално решение, т.е. има две идентични решенија.

Факторизација на квадратната равенкаУреди

Ако е зададена квадратната равенка:

 

која има решенија условно означени со x1 и x2, тогаш равенката може да ја запишеме како:

 

Ваквото презапишување на равенката се вика факторизација на квадратната равенка или разложување на квадратната равенка на линеарни множители. Овој процес е честопати корисен при решавање на конкретни задачи и проблеми.

Виетови формулиУреди

За решенијата на квадратната равенка важат следниве равенства:

 
 

кои се нарекуваат виетови формули за квадратна равенка (т.е. полином од втор степен) и претставуваат специјален случај на општата Виетова теорема.

Равенки кои се сведуваат на квадратниУреди

Равенките од облик:

 

може да се сведат на квадратни, ако се стави смената:

 

со која првичната равенка се сведува на равенка од облик:

 

која се решава според погорните формули. Решенијата на почетната равенката се добиваат кога ќе се пресмета n-ти корен од обете решенија на трансформираната равенка. На овој начин се добиваат 2n решенија, онолку колку што и треба да има. Специјално, за n=2, равенката е од облик:

 

и таа се нарекува биквадратна равенка, која јасно има четири решенија.

ПримериУреди

  • Да се реши равенката:  

Според формулата имаме:

 
 
 

Значи решенија на равенката се: x1=1 и x2=-3

  • Да се реши равенката:  

Имаме:

 
 
 

Добиените решенија се комплексно конјугирани.

  • Да се реши равенката:  

Оваа равенка е биквадратна. Ставаме замена:

 

и равенката се сведува на квадратна равенка од облик:

 

За решенијата на оваа равенка имаме:

 
 
 

Ова се решенијата на квадратната равенка (т.е. на трансформацијата на биквадратната равенка). Но, бидејќи:

 

тогаш:

 

Така се добиваат четири решенија, и тоа:

 
 

Конечно, решенијата на биквадратната равенка се:

 
 
 
 

ПоврзаноУреди