Квадратна функција

Поврзано: Квадратна равенка

Квадратна функција

Дефиниција и основни својства

Во математика, квадратна функција е функција чиј графикон е вертикална парабола во рамнина, односно квадратна функција е полиномна функција од втор степен од една независнo променлива х.

Во експлицитен облик имаме: f(x)=ax²+bx+c или у(x)=ax²+bx+c или y=ax²+bx+c, каде што а≠0.

Коефициентите a, b и c се константи, односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а остануваат x и y како променливи. На пример: у(x) =x²-2x-3 е квадратна функција со a=1, b=-2 и c=-3. Множеството на допуштени вредности на секоја квадратна функција е R, т.е. сите реални броеви. Значи, било кој реален број може да „влези“ во квадратна функција, односно да биде замената за х во функцијата. Сликата, т.е. множеството на сите излезни вредности e подмножество на R. На пример, сликата на квадратната функција f(x)=x² е множеството R⁺=[0,∞), односно множеството на ненегативни реални броеви. Друг пример: сликата на квадратната функција у(x) = x²-2x-3 е y∈[-4,∞) (види слика надесно).

Параболата која е графикон на квадратна функција има вертикална симетрала x=^-b⁄_2a (низ темето). Параболата се отвора нагоре ако a>0, а се отвори надолу ако a<0. Квадратна функција има точно еден пресек со у-оската во точката (0,с). Темето на параболата е точката: (^-b⁄_2a, y(^-b⁄_2a)).

Квадратна функција може да има 2, 1 или 0 корени. Корените се реалните решенија (доколку има) на квадратната равенка ax²+bx+c=0 која може да се реши користејќи ја квадратната формула x₁,x₂=^-b±D⁄_2a, D=√b²-4ac. Се потенцира дека само реални решенија на оваа равенка се корени. Ако D>0, функцијата има 2 корени. Ако D=0, функцијата има 1 корен. Ако D<0, Функцијата нема корен. Бројот на корените е еднаков на бројот на пресеците на параболата со х-оската.

Пример примена на квадратна равенка: Висина h како функција на време t на предмет истрелен директно нагоре со почетна брзина v₀ и со почетна висина h₀ се опишува со квадратна функција: h(t)=^9.81⁄₂•t²+v₀•t+h₀.

$f(x)=x^{2}-2x$	$f(x)=-x^{2}+4x-4$	$f(x)={\frac {x^{2}}{2}}+x+1$
a=1, b=-2, c=0	a=-1, b=4, c=-4	a=0.5, b=1, c=1
y-пресек (0,0)	y-пресек (0,-4)	y-пресек (0,1)
D= (-2)2 =4 >0	D= (-4)2-4•4 =0	D= (1)2-4•0.5•1 =-1 <0
x1=2 и x2=0	x1=x2=2	x1 и x2 не постојат!
два различни корени	еден единствен корен	нема корен
Теме: (-1,1)	Теме: (2,0)	Теме: (-1,0.5)