Подмножество

Во математиката, особено во теоријата на множествата, множество A е подмножество на множество B ако A „се содржи“ во B. A и B може да се совпаѓаат. Ваквата релација се нарекува содржајна релација или инклузија^[1]. Така, множестово B е надмножество на A бидејќи сите елементи на A се воедно и елементи на B.

Дефиниции

Ако A и B се множества, и секој елемент на A е воедно и елемент на B, тогаш:

A е подмножество на (се содржи во) B, што се означува со $A\subseteq B$ .
B е надмножество на (го содржи) A, што се означува со $B\supseteq A.$

Ако A е подмножество на B, но A не е еднакво на B (т.е. B има барем еден елемент што го нема во A), тогаш

A е исто така вистинско^[1] (или строго) подмножество на B; се запишува како $A\subsetneq B$ (може да се сретне како $A\subset B$ )

или еквивалентно

B е вистинско надмножество на A; се запишува како $B\supsetneq A$ (може да се сретне како $B\supset A$ )

За секое множество S, содржајната релација ⊆ е делумен поредок на множеството ${\mathcal {P}}(S)$ на сите подмножества на S (партитивното множество на S).

Знаците ⊂ и ⊃

Некои автори во своите дела знаците ⊂ и ⊃ ги третираат како ⊆ и ⊇.

Во рамки на нивните дела, за секое множество е точно дека $A\subset A$ .

Знаците ⊂ и ⊃ може да се сретнат и во функција на знаци за вистинско подмножество и вистинско надмножество наместо знаците ⊊ и ⊋. Односно, ⊆ и ⊂ се земаат како аналогни на знаците за неравенство ≤ и <.

Ако x ≤ y тогаш x може да е еднакво на y, но ако x < y, тогаш x сигурно не е еднакво на y, туку е помало од y.

Ако A ⊆ B, тогаш A може да е еднакво на B, но ако A ⊂ B, тогаш A сигурно не е еднакво на B.

Примери

Множеството {1, 2} е вистинско подмножество на {1, 2, 3}.
Секое множество е подмножество самото на себе, но не и вистинско подмножество.
Празното множество (симбол: ∅) е исто така и подмножество на секое дадено множество X. Празното подмножество е секогаш вистинско подмножество на сите множества, освен на самото себе.
Множеството {x: x е прост број поголем од 2000} е вистинско подмножество на {x: x е неапрен број поголем од 1000}.
Множеството на природни броеви е вистинско подмножество на множеството на рационални броеви исто така множеството на точки на една отсечка е вистинско подмножество на множеството од точки на една линија.
Множеството на рационални броеви претставува вистинско подмножество на множеството реални броеви. Во овој пример и двете множества се бесконечни, но множеството на реални броеви има поголема кардиналност од множеството рационални броеви.

Други својства на содржајноста

Содржајноста (инклузијата) претставува канонски делумен поредок, односно секое делумно подредено множество (X, $\preceq$ ) е изоморфно на некој збир множества подредени со содржајност. Прост пример се редните броеви: ако секој реден број n го поистоветиме со множество [n] на сите редни броеви помали или еднакви на n, тогаш a ≤ b ако и само ако [a] ⊆ [b].

За партитивно множество ${\mathcal {P}}(S)$ на множеството S, содржајниот делумен поредок е (до поредочен изоморфизам) Декартов производ на k = |S| (кардиналноста на S) слики на делумниот поредок на {0,1} за кој 0 < 1. Ова може да се покаже набројувајќи S = {s₁, s₂, …, s_k} и сврзувајќи со секое подмножество T ⊆ S (т.е. се секој елемент на 2^S) k-кратноста од {0,1}^k чијашто i-та координата е 1 ако и само ако s_i е член на T.

Поврзано

Наводи

↑ ^1,0 ^1,1 Андреевски, Венцислав П. (2007). „1. Елементи на теоријата за множества“. Прирачник за математички поими и формули. Скопје: Винсент графика. ISBN 978-9989-2474-4-6.

Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

Надворешни врски

Множества и подмножества^{[мртва врска]} - Институт за информатика (ПМФ) (македонски)

[МатПрир-1] 1,0 ^1,1 Андреевски, Венцислав П. (2007). „1. Елементи на теоријата за множества“. Прирачник за математички поими и формули. Скопје: Винсент графика. ISBN 978-9989-2474-4-6.

[1]