Бернулиева распределба

Бернулиева распределба
	Веројатносна функција Три примери за Бернулиева распределба: и и и
Параметри	;
Носител
ВФ
РФ
Средина
Медијана
Модус
Варијанса
ПАО
Накосеност
Вишок зашиленост
Ентропија
МТФ
КФ
ВТФ
Фишерова информација

Бернулиева распределба во теоријата на веројатноста и статистиката — прекинатата веројатносна распределба на една случајна променлива која ја има вредноста 1 со веројатност $p$ и вредноста 0 со веројатност $q=1-p$ . Понеформално, таа е модел за множество можни исходи од секој можен опит опит кој поставува прашање „да–не“. Ваквите прашања водат до исходи со една од две вредности: „успех“ (1) со веројатност p и „неуспех“ (0) со веројатност q. Со оваа распределба може да се претстави фрлање паричка каде 1 и 0 би биле „глава“ и „писмо“, а p би била веројатноста да се падне глава (или обратно, каде 1 е писмо, а p ќе биде веројатноста за писмо). Нечесните парички би имале $p\neq 1/2.$

Наречена е по швајцараскиот математичар Јакоб Бернули^[1] и претставува посебен случај на биномната распределба со еден спроведен опит (така што n би бил 1 за таква биномна распределба). Воедно таа претставува посебен случај на двоточкестата распределба, чии можни исходи не мора да бидат 0 и 1.

Својства

Ако $X$ е случајна променлива со оваа распределба, тогаш:

\Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.

Веројатносната фунција $f$ на оваа распределба низ можните исходи k е

f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{ако }}k=1,\\q=1-p&{\text{ако }}k=0.\end{cases}}

^[2]

Ова може да се изрази и како

f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{за }}k\in \{0,1\}

или како

f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{за }}k\in \{0,1\}.

Бернулиевата распределба е посебен случај на биномната распределба со $n=1.$ ^[3]

Зашиленоста оди до бесконечност за високи и ниски вредности на $p,$ но за $p=1/2$ двоточкестите распределби (вкл. Бернулиевата) имаат помалку вишок зашиленост отколку било која друга веројатносна распределба, имено −2.

Бернулиевите распределби за $0\leq p\leq 1$ сочинуваат експоненцијално семејство.

Процената на максимална веројатност на $p$ според случаен примерок е примерочната средина.

Средина

Очекуваната вредност на една Бернулиева случајна променлива $X$ е

\operatorname {E} [X]=p

Ова се должи на тоа што, за Бернулиево распределена случајна променлива $X$ со $\Pr(X=1)=p$ и $\Pr(X=0)=q$ имаме

\operatorname {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.

^[2]

Веријанса

Варијансата на Бернулиево распределен $X$ е

\operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)

Прво имаме

\operatorname {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatorname {E} [X]

Од ова следи

\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq

^[2]

Од овој резултат лесно е да се докаже дека, за секоја Бернулиева распределба, нејзината варијанса ќе има вредност во рамките на $[0,1/4]$ .

Накосеност

Накосеноста (коефициентот на асиметрија) е ${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}$ . Кога ја ќе земеме стандардизираната Бернулиево распределена случајна променлива ${\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}$ излегува дека оваа случајна променлива добива ${\frac {q}{\sqrt {pq}}}$ со веројатност $p$ и добива $-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}$ со веројатност $q$ . Така добиваме

{\begin{aligned}\gamma _{1}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}.\end{aligned}}

Виши моменти и кумуланти

Сите сирови моменти се еднакви поради тоа што $1^{k}=1$ и $0^{k}=0$ .

\operatorname {E} [X^{k}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{k}+\Pr(X=0)\cdot 0^{k}=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\operatorname {E} [X].

Централниот момент со степен $k$ се добива со

\mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.

Првите шест централни моменти се

{\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=p(1-p),\\\mu _{3}&=p(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu _{5}&=p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{aligned}}

Вишите централни моменти може да се изразат покомпактно како $\mu _{2}$ и $\mu _{3}$

{\begin{aligned}\mu _{4}&=\mu _{2}(1-3\mu _{2}),\\\mu _{5}&=\mu _{3}(1-2\mu _{2}),\\\mu _{6}&=\mu _{2}(1-5\mu _{2}(1-\mu _{2})).\end{aligned}}

Првите шест кумуланти се

{\begin{aligned}\kappa _{1}&=p,\\\kappa _{2}&=\mu _{2},\\\kappa _{3}&=\mu _{3},\\\kappa _{4}&=\mu _{2}(1-6\mu _{2}),\\\kappa _{5}&=\mu _{3}(1-12\mu _{2}),\\\kappa _{6}&=\mu _{2}(1-30\mu _{2}(1-4\mu _{2})).\end{aligned}}

Поврзани распределби

Ако $X_{1},\dots ,X_{n}$ се независни еднакво распределени случајни променливи, сите Бернулиеви опити со веројатност за успех p, тогаш нивното множество е распределено според биномна распределба со параметри n и p:
$\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)$ (биномна распределба).^[2]

Бернулиевата распределба едноставно е

\operatorname {B} (1,p)

, и се запишува и како

{\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}

Категоричната распределба е воопштувањето на Бернулиевата распределба за променливи со било кој постојан број на прекинати вредности.
Бета-распределбата е сврзувачкиот претходник of Бернулиевата распределба.
Геометриската распределба го моделира бројот на независни и еднакви Бернулиеви опити потребни за да се добие еден успех.
Ако ${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}$ , тогаш ${\textstyle 2Y-1}$ има Радемахерова распределба.

Поврзано

Наводи

↑ James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937, стр. 45
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introduction to Probability. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.
↑ McCullagh, Peter; Nelder, John (1989). Generalized Linear Models, Second Edition. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. Section 4.2.2. ISBN 0-412-31760-5.

Надворешни врски

Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Биномна распределба“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104.
„Бернулиева распределба“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

Интерактивна графика за односите на еднопроменливата распределба.

[1] James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937, стр. 45

[:0-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introduction to Probability. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

[McCullagh1989Ch422-3] McCullagh, Peter; Nelder, John (1989). Generalized Linear Models, Second Edition. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. Section 4.2.2. ISBN 0-412-31760-5.

[1]

[2]

[3]

Веројатносна функција Три примери за Бернулиева распределба: $P(x=0)=0{,}2$ и $P(x=1)=0{,}8$ $P(x=0)=0{,}8$ и $P(x=1)=0{,}2$ $P(x=0)=0{,}5$ и $P(x=1)=0{,}5$
Параметри	$0\leq p\leq 1$ $q=1-p$
Носител	$k\in \{0,1\}$
ВФ	${\begin{cases}q=1-p&{\text{ако }}k=0\\p&{\text{ако }}k=1\end{cases}}$
РФ	${\begin{cases}0&{\text{ако }}k<0\\1-p&{\text{ако }}0\leq k<1\\1&{\text{ако }}k\geq 1\end{cases}}$
Средина	$p$
Медијана	${\begin{cases}0&{\text{ако }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{ако }}p=1/2\\1&{\text{ако }}p>1/2\end{cases}}$
Модус	${\begin{cases}0&{\text{ако }}p<1/2\\0,1&{\text{ако }}p=1/2\\1&{\text{ако }}p>1/2\end{cases}}$
Варијанса	$p(1-p)=pq$
ПАО	${\frac {1}{2}}$
Накосеност	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
Вишок зашиленост	${\frac {1-6pq}{pq}}$
Ентропија	$-q\ln q-p\ln p$
МТФ	$q+pe^{t}$
КФ	$q+pe^{it}$
ВТФ	$q+pz$
Фишерова информација	${\frac {1}{pq}}$