Бернулиев опит

Во веројатностa и во статистиката, Бернулиев опит B(1,p), p∈(0,1) е случаен опит кој има точно два можни исходи.

• Обичајно е да едниот исход се „именува“ успех, а другиот неуспех (не мора да се согласува со реалното значење на исходите).
• Соодветно на тоа, случајната променлива на Бернулиев опит е Х={0,1} каде што

Бернулиев опит
Закон на распределба (pdf) со p=0.65
Кумулативна распределба (cdf) со p=0.65
Тип	Дискретна
Означување	B(1, p ), p∈(0,1)
Параметри	p ∈ [0,1] = веројатност успех по опит
Поддршка	k∈{0,1}
PDF	$f(k)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{1-p}&{k=0}\\p&{k=1}\end{array}}\right.$
CDF	$F(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}0&{x<0}\\{1-p}&{0\leq x<1}\\1&{x\geq 1}\end{array}}\right.$
μ	p
σ2	p(1 − p)

Х(успех)=1

Х(неуспех)=0

Нека веројатноста на успех е p на еден Бернулиев опит. Тогаш веројатноста на неуспех е q=1-p. Следува дека

$Pr(X=1)=p$.

$Pr(X=0)=1-p$

Одлики на Бернулиев опит B(1,p)

• Бернулиев опит е потполно определен со веројатноста на успехот, односно со број p, 0<p<1.
• Бернулиев опит е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со 2 елементи: X={0,1}.
• Pr(X=k) е веројатноста на k успеси во 1 повторувањe на опитот, k∈X. (Види Биномна распределба, Геометриска распределба)

Распределби на Бернулиев опит

• Бернулиев опит ја има дискретната случајна променлива: X={0,1}.

Закон на распределба - PDF на B(1,p)

PDF на B(1,p)
X=x	0	1
Pr(X=x)=f(x)	1-p	p

Кумулативна распределба - CDF на B(1,p)

CDF на B(1,p)
x∈	(-∞,0)	[0,1)	[1,∞)
Pr(X<x)=F(x)	0	1-p	1

Други одлики на Бернулиев опит

• Бидејќи секој Бернулиев опит има точно два можни исходи, опитот секогаш може да се преформулира како прашање со можни одговори да или не.
• Експеримент каде што Бернулиев опит со веројатноста р се повторува точно n пати се вика Биномен експеримент и се означува со B(n,p), n&isin ℕ. Треба да се прави разлика помеѓу еден Бернулиев опит со веројатност р на успех со безброј биномните експерименти заснован на тој опит (секој со свој број n). (Види Биномен експеримент)

Мерки на Бернулиев опит

• Очекувана вредност E(x) = Аритметичка средина μ

$E(x)=\mu =\sum \limits _{j=1}^{2}{{x_{j}}\cdot {p_{j}}=0(1-p)+1\cdot p=p}$

• Расејување σ²

$\sigma ^{2}=\sum \limits _{j=1}^{2}{{{({x_{j}}-\mu )}^{2}}\cdot {p_{j}}={{(0-p)}^{2}}(1-p)+{{(1-p)}^{2}}\cdot p=p(1-p)}$

Примери

Пример 1: Еден стрелец има 65% шанса за погодок при секое гаѓање. Каков е соодветниот Бернулиев опит?

Претпоставиме дека погодок е „успех“. Тогаш p=65%=0.65.

PDF на B(1,0.65)	CDF на B(1,0.65)
X=x 0 1 Pr(X=x)=f(x) 0.35 0.65	x∈ (-∞,0) [0,1) [1,∞) Pr(X<x)=F(x) 0 0.35 1
$f(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{0.35}&{x=0}\\0.65&{x=1}\end{array}}\right.$	$F(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}0&{x<0}\\{0.35}&{0\leq x<1}\\1&{x\geq 1}\end{array}}\right.$

Очекуваната вредност:	E(x)=μ=0.65
Расејувањето е:	σ2=0.65 ·0.35=0.2275
Стандардното отстапување е:	σ ≈ 0.4770

Пример 2: Опитот е: Фрлање на коцка и пишување П за победа ако бројот на горната страна е 4-ка, а Г за губиток (пораз) за сите други исходи. Каков е соодветниот Бернулиев опит?

Претпоставиме дека победа е „успех“. Тогаш p=⅙≈0.167 (види ги примерите кај случајна променлива).

PDF на B(1,0.65) X=x 0 1 Pr(X=x)=f(x) 0.833 0.167

CDF на B(1,0.65) x∈ (-∞,0) [0,1) [1,∞) Pr(X<x)=F(x) 0 0.833 1

Поврзано

• Бернулиева распределба
• Опит (теорија на веројатноста)
• Биномна распределба
• Дискретна случајна променлива
• Веројатност

Наводи

Надворешни врски

• Стојановска, Л (2010). „Бернулиев опит“. Архивирано од изворникот на 2016-03-05. Посетено на 1 October 2013. интерактивен
• Bogomolny, Alexander (2007). „Bernoulli Trials“ (англиски). cut-the-knot.org. Посетено на 1 October 2013.
• Leemis, L. (2007). „Univariate Distribution Relationships“ (англиски). William and Mary, VA, USA. Посетено на 1 October 2013.
• „Bernoulli Trial with R-programming Language“ (англиски). Посетено на 1 October 2013. со алгоритми за генерирање на случајни податоци