Гаусова гравитациска константа

Гаусовата гравитациска константа (симбол: k) — астрономска константа откриена од германскиот научник Карл Фридрих Гаус и изложена во неговото дело „Теорија на движењето на небесните тела што одат во конусни пресеци околу Сонцето“ (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum) издадено во 1808 г., иако со оваа замисла ја искористил сосем успешно уште во 1801 при предвидувањето на орбитата на џуџестата планета Церера. Константата е еднаква на квадратниот корен на Њутновата гравитациска константа G, која потоа се изразува во извесен мерен систем, и приближно еднаква на средната аголна брзина на Земјата кога кружи околу Сонцето.

Вредноста на константата со голема прецизност ја измерил канадско-американскиот астроном Сајмон Њуком во неговите „Табели на Сонцето“ (1895). Добиената вредност од 0,017 202 098 95 се користи и денес. Оваа константа игра мошне значајна определбена улога во астрономскиот мерен систем од 1952 наваму.

Изведување

Третиот Кеплеров закон вели:

„Квадратот на орбиталниот период на една планета е правопропорционален на кубот на големата полуоска на орбитата.“

Симболично претставено:

$P^{2}\propto r^{3}.\,$

Центрипеталното забрзување на една планета во нејзината орбита изнесува rω² (ω е аголната брзина на планетата): според Њутновиот закон за гравитацијата, гравитациското забрзување на планетата предизвикано од Сонцето е GS/r², каде S е масата на сонцето, а G е Њутновата гравитациска константа. Затоа:

$r\omega ^{2}={\frac {GS}{r^{2}}}.$

Ниту G ниту S можат да се измерат со прецизност, но Гаус увидел дека за определбата на планетарното движење потребен е само нивниот производ, и ако ова се измери во случајот на Земјата, тогаш истата константа може да се примени и кај другите планети. Орбиталниот период го има следниов однос со аголната брзина

$P={\frac {2\pi }{\omega }}.$

Затоа:

${\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {GS}{r^{3}}}\Rightarrow P^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GS}}r^{3}$

што се бара од Третиот Кеплеров закон.

Корисно е да се направи обратно претворање од орбитални периоди во аголна брзина, имајќи предвид дека аголната брзина на Земјата изнесува 2π радијани на ѕвездена година (орбиталниот период на Земјата).

$\omega ={\frac {2\pi }{365.25636}}\approx 0.0172\,{\rm {rad/d}}.$

Должината на големата полуоска на Земјината орбита може да се означи со A (подоцна наречена астрономска единица). Во случај на Земјата:

$\omega ^{2}={\frac {GS}{A^{3}}}.$

Аголната брзина на Земјата не е постојана – Земјата се движи побрзо кога е поблиску до Сонцето (перихел), а побавно кога е подалеку (афел) – но ова е величина чија средна вредност е увидлива и може математички да се пресмета. Гаусовата константа k ја претставува средната вредност во радијани дневно.

Поимот "гравитациска константа" доаѓа оттаму што k² е Њутновата гравитациска константа изразена во систем на мерни единици, каде масите се изразуваат во сончеви маси, времето во денови, а должината се изразува во големи полуоски на Земјината орбита. Трансформирајќи го мерниот систем, Гаус во голема мера ја упростил пресметката на планетарните орбити. Овој систем (со малку изменети дефиниции на основните единици) се користи и денес, и се нарекува астрономски мерен систем.

Надворешни врски

• Гаусовата гравитациска константа — Wolfram ScienceWorld (англиски)