Алгебарска дропка

Во алгебрата алгебарска дропка е дропка чиј броител и именител се алгебарски изрази. Два примери на алгебарски дропки се ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ и ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ . Алгебарските дропки подлежат на истите закони како и аритметичките дропки.

Рационална дропка е алгебарска дропка чиј броител и именител се и полиноми. Така ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ е рационална дропка, но не ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},$ бидејќи броителот содржи функција од квадратен корен.

Терминологија

Во алгебарската дропка ${\tfrac {a}{b}}$ , деленикот a се нарекува броител, а делителот b се нарекува именител. Броителот и именителот се нарекуваат членови на алгебарската дропка.

Сложена дропка е дропка чиј броител или именител, или и двата, содржи дропка. Простата дропка не содржи дропка ниту во својот броител ниту во својот именител. Дропката е најниска ако единствениот заеднички фактор за броителот и именителот е 1.

Израз што не е во дробен облик е интегрален израз. Интегрален израз секогаш може да се напише во дробен облик (како дропка) со давање именител 1. Мешан израз е алгебарски збир на еден или повеќе интегрални изрази и еден или повеќе дробни членови.

Рационални дропки

Ако изразите a и b се полиноми, алгебарската дропка се нарекува рационална алгебарска дропка^[1] или едноставно рационална дропка.^[2] ^[3] Рационалните дропки се познати и како рационални изрази. Рационалната дропка ${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ се нарекува правилна ако $\deg f(x)<\deg g(x)$ , а доколку тоа не е исполнето се нарекува неправилна. На пример, рационалната дропка ${\tfrac {2x}{x^{2}-1}}$ е правилна, а рационалните дропки ${\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}$ и ${\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}$ се неправилни. Секоја неправилна рационална дропка може да се изрази како збир на полином (можеби константа) и правилна рационална дропка. Во првиот пример на неправилна дропка се има

{\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},

каде што вториот член е правилна рационална дропка. Збирот на две правилни рационални дропки е исто така правилна рационална дропка. Обратниот процес на искажување правилна рационална дропка како збир од две или повеќе дропки се нарекува нејзино разрешување во парцијални дропки. На пример,

{\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.

Овде, двата члена од десната страна се нарекуваат парцијални дропки.

Ирационални дропки

Ирационална дропка е онаа што ја содржи променливата под дробен степен.^[4] Пример за ирационална дропка е

{\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.

Постапката на промена на ирационална дропка во рационална дропка е познат како рационализација. Секоја ирационална дропка во која радикалите се мономи може да се рационализира со наоѓање на најмалиот заеднички содржател од индексите на корените и замена на променливата за друга променлива со најмалиот заеднички содржател како експонент. Во дадениот пример, најмалиот заеднички множител е 6, па затоа можеме да го замениме $x=z^{6}$ да се добие