Јадрен слоест модел

Јадрен слоест модел — модел на атомското јадро во кој е вклучен и Паулиевиот принцип за да се опише структурата на јадрото преку енергетските нивоа. Првиот слоест модел бил предложен од Дмитри Иваненко (заедно со Е. Гапон) во 1932 година. Моделот бил развиен во 1949 година, благодарение на независната работа на неколку физичари, особено на Јуџин Вигнер, Марија Геперт Мајер и Јоханес Ханс Даниел Јенсен, кои ја поделиле 1963 Нобеловата награда за физика од 1963 година за нивните придонеси во објаснувањето на слоестиот модел.

Слоестиот модел делумно е еднаков на атомскиот слоест модел кој ги опишува подреденостите на електроните во атомот, односно дека пополнет слој има поголема стабилност. Кога додаваме нуклеони (протони или неутрони) во јадрото, постојат одредени точки каде врзивната енергија на следниот нуклеон е помала од оној претходно разгледуван. Ова набљудување, дека постојат одредени магичните броеви на нуклеоните: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 кои се потесно сврзани од следниот повисок број, е всушност основа за слоестиот модел.

Слоевите за протоните и неутроните се независни едни од други. Затоа, може да се има „магично јадро“ каде еден вид на нуклеон или друг е со магичен број, и можеме да иамме „двојно магични јадра“, кога и двата броја на нуклеоните се магични. Поради некои промени во пополнувањето на орбиталите, горните магични броеви се 126 и шпекулативно, 184 за неутрони и само 114 за протони, што има улога во потрагата на т.н. остров на стабилност. Се забележани и некои полумагични броеви, особени Z=40 давајќи му на јадрениот слоест модел пополнување кај различните елементи, исто така и 16 може да биде магичен број.

За да се добијат овие броеви, јадрениот слоест модел започнува од просечниот потенцијал со облик помеѓу јама со бесконечен потенцијал и хармониски треперник. На овој потенцијал се надоврзува и спинска орбита. И на овој начин, целокупното растројување не соодвествува на експериментот, па мора да се додаде и емпириска соинска орбита со најмалку две или три различни вредности за нивната константа на заемодејство, во зависност од јадрото кое се изучува.

Во секој случај, магичните броеви на нуклеоните, како и другите својства, може да се добијат со приближно разгледување на моделот со употреба на тридимензионален хармонсики осцилатор заедно со спин-орбиталното заемодејство. Поверодостоен, но оддалеку посложен потенцијал е познат како Вудс–Саксонов потенцијал.

Деформиран приближен модел на хармонсики осцилатор

Да разгледаме тридимензионален хармониски осцилатор. Ова ќе ни ги даде, на пример, во првите две нивоа ("l" е аголниот момент)

Ниво n	l	ml	ms
0	0	±0	+ 1⁄2
			− 1⁄2
1	1	+1	+ 1⁄2
			− 1⁄2
		±0	+ 1⁄2
			− 1⁄2
		−1	+ 1⁄2
			− 1⁄2

Ние можеме да замислиме како создаваме јадро со додавање на протони и неутрони. Тие секогаш ќе го исполнуваат најниското достапно ниво. Па така првите два протони ќе го пополнат нивото 0, следните шест протони ќе го пополнат нивото 1, и се така по ред. Како и со електроните во периодниот систем, протоните во најнадворешната обвивка ќе бидат релативно слабо сврзани ако има само неколку протони во тој слој, бидејќи тие се најдалеку од центарот на јадрото. Следствено, јадрата кои имаат целосно исполнет надворешен протонски слој, ќе имаат повисока сврзна енергија отколку другите јадра со сличен вкупен број на протони. Истото е точно и за неутроните.

Ова значи дека магичните броеви се оние во кои се целосно исполнети систе слоеви. Ова можеме да го забележиме за првите два броја добиваме 2 (нивото 0 е пополнето) и 8 (нивоата 0 и 1 се пополнети), во согласност со експериментот. Сепак целосниот збир на магични броеви не е исполнет во целост. Ова може да се пресмета на следниот начин:

Во тридимензионален хармониски осцилатор вкупната изродување на нивото n е ${(n+1)(n+2) \over 2}$.

Поради постоењето на спин, изродувањето се дуплира и е $(n+1)(n+2)$.

Следствено магичните броеви ќе бидат

$\sum _{n=0}^{k}(n+1)(n+2)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}$

За секој број k, се добиваат следниве магични броеви: 2, 8, 20, 40, 70, 112, ..., што е во согласност со експериментот само за првите три записи. Овие броеви се двојно поголеми од тетраедарските броеви (1, 4, 10, 20, 35, 56, ...) од Паскаловиот триаголник.

Па така, за првите 6 слоеви ќе имаме:

• Ниво 0: 2 состојби (l = 0) = 2.
• Ниво 1: 6 состојби (l = 1) = 6.
• Ниво 2: 2 состојби (l = 0) + 10 состојби (l = 2) = 12.
• Ниво 3: 6 состојби (l = 1) + 14 состојби (l = 3) = 20.
• Ниво 4: 2 состојби (l = 0) + 10 состојби (l = 2) + 18 состојби (l = 4) = 30.
• Ниво 5: 6 состојби (l = 1) + 14 состојби (l = 3) + 22 состојби (l = 5) = 42.

каде за секое l имаме 2l+1 различни вредности за m_l и 2 вредности за m_s, што доведува до вкупно 4l+2 состојби за секое ниво поединечно.

Овие броеви се двојно поголемио од броевите во триаголните броеви од Паскаловиот триаголник: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ....

Вклучување на спин-орбиталното заемодејство

Во следниот чекор предвид се зема и спин-орбиталното заемодејство. Прво ќе треба да се опише системо со употреба на квантни броеви j, m_j и парност како замена за l, m_l и m_s, како што е кај водородоподобниот атом. Бидејќи секое парно ниво вклучува само парни вредности на l, ќе вклучува само состојби со парна (позитивна) парност. Слично, секое непарно ниво ќе вклучува само состојби со непарна (негативна) парност. Следствено можеме да ја занемариме парноста при броењето на состојбите. Првите шест слоја, опишани со новите квантни броеви се:

• Ниво 0 (n = 0): 2 состојби (j =  ¹⁄₂). Парна парност.
• Ниво 1 (n = 1): 2 состојби (j =  ¹⁄₂) + 4 состојби (j =  ³⁄₂) = 6. Непарна парност.
• Ниво 2 (n = 2): 2 состојби (j =  ¹⁄₂) + 4 состојби (j =  ³⁄₂) + 6 состојби (j =  ⁵⁄₂) = 12. Парна парност.
• Ниво 3 (n = 3): 2 состојби (j =  ¹⁄₂) + 4 состојби (j =  ³⁄₂) + 6 состојби (j =  ⁵⁄₂) + 8 состојби (j =  ⁷⁄₂) = 20. Непарна парност.
• Ниво 4 (n = 4): 2 состојби (j =  ¹⁄₂) + 4 состојби (j =  ³⁄₂) + 6 состојби (j =  ⁵⁄₂) + 8 состојби (j =  ⁷⁄₂) + 10 состојби (j =  ⁹⁄₂) = 30. Парна Парност.
• Ниво 5 (n = 5): 2 состојби (j =  ¹⁄₂) + 4 состојби (j =  ³⁄₂) + 6 состојби (j =  ⁵⁄₂) + 8 состојби (j =  ⁷⁄₂) + 10 состојби (j =  ⁹⁄₂) + 12 состојби (j =  ¹¹⁄₂) = 42. Непарна парност.

Каде за секој j постојат 2j+1 различни состојби од различни вредности за m_j.

Поради постоењето на спин-орбиталното заемодејство енергиите на состојбите во истото енергетско ниво, но со различен j повеќе нема да бидат исти. Ова е поради првичните квантни броеви, кога $\scriptstyle {\vec {s}}$ е паралелен на $\scriptstyle {\vec {l}}$, енергијата на заемодејството е позитивна и во случајот j = l + s = l +  ¹⁄₂. Кога $\scriptstyle {\vec {s}}$ е антипаралелна со $\scriptstyle {\vec {l}}$ (т.е. спротивно подредена), енергијата на заемодејството е негативна, и во вој случај j=l−s=l− ¹⁄₂. Понатамошно, јачината на заемодејството е скоро пропорционална на l.

На пример да ги разгледаме состојбите на нивото 4:

• 10 состојби со j =  ⁹⁄₂ добиени од l = 4 и s паралелна на l. Имаат позитвна спин-орбитална заемнодејствувачка енергија.
• 8 состојби со j =  ⁷⁄₂ добиени од l = 4 и s антипаралелна на l. Имаат негативна спин-орбитална заемнодејствувачка енергија.
• 6 состојби со j =  ⁵⁄₂ добиени од l = 2 и s паралелна на l. Имаат позитивна спин-орбитална заемнодејствувачка енергија. Сепак нејзината големина е половина споредена со сотојбите со j =  ⁹⁄₂.
• 4 состојби со j =  ³⁄₂ добиени од l = 2 и s антипаралеллна на l. Имаат негативна спин-орбитална заемнодејствувачка енергија. Сепак нејзината големина е половина споредена со сотојбите со j =  ⁷⁄₂.
• 2 состојби со j =  ¹⁄₂ добиени од l = 0 и имаат спин-орбитална заемнодејствувачка енергија еднаква на 0.

Деформирање на потенцијалот

Потенцијалот на хармонискиот осцилатор $V(r)=\mu \omega ^{2}r^{2}/2$ расте во бесконечност како што растојанието од центарот r се зголемува кон бесконечност. Поверодостоен потенцијал како што е Вудс–Саксоновиот потенцијал, ќе се приближи кон константна вредност во овие граници. Главната последица е што просечниот полупречник на јадрените орбити ќе биде поголем од реалистичен потенцијал. Ова доведува со намален запис $\scriptstyle \hbar ^{2}l(l+1)/2mr^{2}$ кај Лапласовиот оператор на Хамилтонијанот. Друга разлика е што орбитите со поголем просечен полупречник, како оние со големи вредности за n или l, ќе имаат помала енергија од потенцијалот на хармонискиот осцилатор. Двата ефекти доведуваат доп намалување на енергетските нивоа за високите l орбити.

Предвидени магични броеви

Нискоенергетските нивоа во слоевиот модел со осцилаторен потенцијал (со мала негативна l² енергија) без спин-орбитално (лево) и со спин-орбитално (десно) заемодејство. Бројот на десно го покажува неговото изродување, (2j+1). Броевите кои се заокружени се магичните броеви.

Заедно со спин-орбиталното заемодејство, и за соодветните големини за двата ефекти, ќе се дојде до следнава квлаитативна слика: на сите нивоа, највисоките j состојби ги имаат своите енергии сменети надолу, особено за високи вредности на n (каде највисокото j е големо). Ова се должи на негативната спин-орбитална заемнодејствувачка енергија и поради намалувањето на енергијата добиена со деформирањето на потенцијалот налик на релативистичкиот. Претпоследните j состојби, во спротивно, ја менуваат својата енергија нагоре од првиот ефект и надолу од вториот ефект, што доведува до мала целокупна промена. Промените на енергијата на највисоките j состојби можат да ја доведат енергијата на состојбата на едно ниво да биде поблиска до енергијата на пониското ниво. „Слоевите“ на овој модел не се повеќе исти со нивоата означени со n, и магичните броеви се сменети.

Ние можеме подоцна да претпоставиме дека највисоките j состојби за n = 3 ја имаат средната енергија помеѓу просечните енергии за n = 2 и n = 3, и да се претпостави сека највисоките j состојби за поголемите n (најмалку за n = 7) имаат енергија поблиска до просечната енергија на n−1. Тогаш ги добиваме следниве слоеви (Погледајте ја сликата)

• 1 слој:  2 состојби (n = 0, j =  ¹⁄₂).
• 2 слој:  6 состојби (n = 1, j =  ¹⁄₂ или  ³⁄₂).
• 3 слој: 12 состојби (n = 2, j =  ¹⁄₂,  ³⁄₂ или  ⁵⁄₂).
• 4 слој:  8 состојби (n = 3, j =  ⁷⁄₂).
• 5 слој: 22 состојби (n = 3, j =  ¹⁄₂,  ³⁄₂ или  ⁵⁄₂; n = 4, j =  ⁹⁄₂).
• 6 слој: 32 состојби (n = 4, j =  ¹⁄₂,  ³⁄₂,  ⁵⁄₂ или  ⁷⁄₂; n = 5, j =  ¹¹⁄₂).
• 7 слој: 44 состојби (n = 5, j =  ¹⁄₂,  ³⁄₂,  ⁵⁄₂,  ⁷⁄₂ или  ⁹⁄₂; n = 6, j =  ¹³⁄₂).
• 8 слој: 58 состојби (n = 6, j =  ¹⁄₂,  ³⁄₂,  ⁵⁄₂,  ⁷⁄₂,  ⁹⁄₂ или  ¹¹⁄₂; n = 7, j =  ¹⁵⁄₂).

итн.

Да се забележи дека броевите на состојбите по 4 слојсе двојни триаголни броеви плус два. Спин-орбиталното спојување во парови, предизвикува појава на т.н. 'натрапнички нивоа' да спаднат од следното највисоко енергетско ниво во структурата на пониското енергетско ниво. Големините на натрапните нивоа се такви што следните резултантни големини на слоевите се зголемени на следните по големина двојни триаголни броеви од оние на хармнонискиот осцилатор. На пример, 1f2p има 20 ну клеони, и спин-орбиталното спојување додава 1g9/2 (10 нуклеони) што создава нов слој со 30 нуклеони. 1g2d3s има 30 нуклеони, со додавање на натрапникот 1h11/2 (12 нуклеони) се добива нов слој со 42 нуклеониитн.

Тогаш магичните броеви се:

•   2
•   8=2+6
•  20=2+6+12
•  28=2+6+12+8
•  50=2+6+12+8+22
•  82=2+6+12+8+22+32
• 126=2+6+12+8+22+32+44
• 184=2+6+12+8+22+32+44+58

итн.

На овој начин се добиваат сите набљудувани магични броеви, и се предвидува нов (т.н. остров на стабилност) со вредност од 184 (за протоните, досега не е набљудуван магичниот број 126, а посложените теориски прегледи предвидуваат дека магичниот број е 114).

Друг начин за предвидување на магичните (и полумагичните) броеви е со пополнување на идеализиран редослед (со спин-орбитална поделба, но енергијата не се преклопува). За последователност s се дели на деловите j = 1⁄2 и j = -1⁄2 со членовите 2 и 0 соодветно. Земајќи гио предвид најлевите и најдесните вкупни броења означени со / се добиени магичните и полумагичните броеви.

• s(2,0)/p(4,2) > 2,2/6,8, па (полу)магичните броеви 2,2/6,8
• d(6,4):s(2,0)/f(8,6):p(4,2) > 14,18:20,20/28,34:38,40, па 14,20/28,40
• g(10,8):d(6,4):s(2,0)/h(12,10):f(8,6):p(4,2) > 50,58,64,68,70,70/82,92,100,106,110,112, па 50,70/82,112
• i(14,12):g(10,8):d(6,4):s(2,0)/j(16,14):h(12,10):f(8,6):p(4,2) > 126,138,148,156,162,166,168,168/184,198,210,220,228,234,238,240, па 126,168/184,240

Најдесните предвидени магични броеви за секој пар на четвртините пресечени со / се двојни тетраедарски броеви од Паскаловиот триаголник: 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, 240 се 2x 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ..., и најлевите членови на паровите се разликуваат од најдесните како двојни триаголни броеви: 2 − 2 = 0, 8 − 6 = 2, 20 − 14 = 6, 40 − 28 = 12, 70 − 50 = 20, 112 − 82 = 30, 168 − 126 = 42, 240 − 184 = 56, каде 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, ... се 2 × 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... .

Други својства на јадрото

Моделот исто така предвидува или објаснува со делумен успех други својства на јадрото, вообичаено спинот и парноста на јадрените основни состојби, и до одреден степен и нивните возбудени состојби. Да го разгледаме 17
8O (кислород-17) како пример: јадрото има 8 протони кои ги пополнуваат првите три протонски „школки“, 8 неутрони кои ги пополнуваат првите три неутронски „слоеви“, и плус еден неутрон. Сите протони во протонскиот слој имаат вкупен аголен момент нула, бидејќи нивниот аголен момент се поништува. Истото важи и за неутроните. Сите протони во истото ниво (n) ја поседуваат истата парност (или +1 или −1), и бидејќи парноста на пар честички е прозивод од нивните парности, при парен број на протони од истото ниво (n) ќе има парност +1. Па така вкупниот аголен момент на осумте протони и првите осум неутрони е нула, и нивната вкупна парност е +1. Ова значи дека спинот (т.е. аголниот момент) на јадрото, како и неговата парност, се целосно определени од деветтиот неутрон. Овој неутрон е во првата (т.е. најниската енергетска) состојба на четвртиот слој, кој е d-слој (l = 2), и бидејќи $p=(-1)^{l}$, се добива дека парноста на јадрото е +1. Овој четврт d-слој поседува j =  ⁵⁄₂, па така за јадрото на 17
8O се очекува да има позитивна парност и вкупен аголен момент  ⁵⁄₂, што е навистина така.

Правилата за подредување на јадрените слоеви е сличен со Хундовите правила за атомските слоеви, сепак, но за разлика од употребата во атомската физика, пополнувањето не е целосно доколку се стигне до следното n, како таков слоестиот модел не може прецизно да го предвиди редоследот на возбудените јадрени состојби, но е многу успешен предвидувањето на основните состојби. Редоследот на првите неколку слоеви е: 1s, 1p ³⁄₂, 1p ¹⁄₂, 1d ⁵⁄₂, 2s, 1d ³⁄₂... За дополнителни појаснувања на запишувањето погледајте ја статијата за Расел-Сандерсовите слојни ознаки.

За јадрата кои се мошне различни од магичните броеви, мора да се земе предвид дека односто меѓу јадрената сила и аголниот момент, протоните или неутроните со исто n тежнеат да создаваат парови на спротивни аголни моменти. Следствено, јадро сао парен број на протони и парен број на неутрони има спин еднаков на 0 и позитивна парност. Јадро со парен број на протони и непарен број на неутрони (или обратно) ја поседува парноста на последниот неутрон (или протон), и спинот е еднаков на вкупниот аголен момент на овој неутрон (или протон). Под „последен“ се подразбираат својствата чие потекло е од највисокото енергетско ниво.

Во случајот кога имаме непарен број на протони и непарен број на неутрони, треба да се земе предвид вкупниот аголен момент и парноста заедно на последниот протон и последниот неутрон. Парноста на јадрото ќе биде производ од нивните парности, додека пак спинот на јадрото ќе биде еден од можните резултати за збир од нивните аголни моменти (додека останатите можни резултати ќе бидат возбудените состојби на јадрото).

Подредувањето на аголните моменти на нивоата во секој од слоевите е според начелата опишани погоре - поради спин-орбиталното заемодејство, на состојбите со големи аголни моменти ќе им се намалат енергиите поради деформирањето на потенцијалот (т.е. се придвижуваме од потенцијал на хармониски осцилатор кон реалистичен). За нуклеонските парови, сепак, честопати е енергетски подобно да имаат голем аголен момент, дури и кога нивното енергетско ниво за еден нуклеон ќе биде повисок. Ова се должи на врската меѓу аголниот момент и јадрената сила.

Јадрениот магнетен момент делумно е предвиден од упротениот вид на јадрениот слоест модел. Магнетниот момент се пресметува преку j, l и s од „последниот“ нуклеон, но јадрата не се во состојби во кои се добро дефинирани l и s. Понатамошно, за парните и непарните јадра, ќе треба да се земат „последните“ два нуклеони, како што е кај деутериумот. Затоа, ќе се добијат неколку моижни одговори за јадрениот магнетен момент, еден за секоја комбинација на l и s состојба, и реалната состојба на јадрото е суперпозиција од нив. Така вистинските (измерени) јадрени магнетни моменти се некаде меѓу можните одговори.

Електричниот диполен момент на јадрото е секогаш 0, бидејќи неговта основна состојба има конечна парност, како и материјална густина($\psi ^{2}$, каде $\psi$ е брановата функција) е секогаш непроменлива според парноста. Ова се всушност исто така ситуациите со атомскиот електричен дипол.

Поголемите електрични и магнетни мултиполни полови не можат да се предвидат со оваа упростена верзија на слоестиот модел, за причини слични на оние во случајот со деутериумот.

Вклучување на остаточни заемодејства

Остаточните заемодејства меѓу валентните нуклеони се вклучени со дијагонализирање на делотворниот Хамилтонијан во валентниот простор надвор од инертното јадро. Како што е прикажано, самно едночестичните состојби кои се во валентниот простор се активни во користената основа.

За јадрата кои имаат два или повеќе валентни нуклеони (т.е. нуклеони надвор од пополнет слој) мора да се додаде и заемодејство помеѓу две тела. Ова остаточно заемодејство потекнува од меѓунуклеонското заемодејство кое не е вклучено во приближниот просечен потенцијал. Иако ова вклучување на различни слоевити конфигурации се измешани и енергетската на состојбите кои соодвествуваат на истата конфигурација се нарушува.

Овие остаточни заемодејства се вклучени низ пресметките на слоевитетиот модел во скратениот простор на моделот (или валентен простор). Овој простор се простира од основата на многучестичните состојби каде едночестичните состојби во просторот на моделот се активни. Шредингеровата равенка се решава врз оваа основа, користејќи делотворен Хамилтонијан кој е подобен за овој просторен модел. Овој Хамилтонијан е поинаков од оној за слободните нуклеони и меѓу другите работи мора да надоместува за конфигурациите кои не се земени предвид.

Може да се разгледува просечната потенцијална приблиожност целосно со проширување на просторниот модел дои самото инертно јадро и ги зема предвид сите едночестични состојби од скратениот простор на моделот како активни. Ова ја создава основата за нејадрен слоевит модел, кој е ab initio метод. Потребно е да се вклучи заемодејството на три тела во пресметките за да се усогласи со експериментите.

Слични модели

Игал Талми развил метод за да се добие информација од експерименталните податоци и да се искористат за да се пресметаат енергиите кои не се измерени. Овој метод успешно бил искористен успешно од голем број на физичари и довел до подлабоко разбирање на јадрената структура. Врз основа на добриот опис на овие својства е развиена теоријата. Овој опис го усоврши основата на слоевитиот модел на елегантниот и успешен заемнодејствувачки бозонов модел.

Модел кој е изведен од јадрениот слоевит модел е α-честичниот модел развиен од Хенри Маргенау, Едвард Телер, Џ. К. Пиринг, Тони Скајми, понекогаш нарекуван и Скајмиев модел. Како забелешка, сепак, Скајмиевиот модел вообичаено се смета како ммодел на самиот нуклеон, како „облак“ од мезони (пиони), наместо како модел на јадрото како „облак“ од α-честички.

Надворешни врски

• Igal Talmi. (Nov 24, 2010). On single nucleon wave functions. RIKEN Nishina Center. http://ribf.riken.jp/Lecture/Talmi-24Nov2010/.