Стјуартова теорема

Во геометријата, Стјуартовата теорема укажува на односот на должините на страните на триаголник и должините на отсечките со една крајна точка на странат ана триаголникот, а другата во темето на спротивната страна (слика 1). Именувана е во чест на шкотскиот математичар Метју Стјуарт (англиски: Matthew Stewart околу 1717/1719 - 23 јануари 1785) кој ја докажал оваа теорема во 1749 година. Стјуартовата теорема наложува дека:

(Слика 1) Со помош на Стјуартовата теорема може да се изрази должината d преку должините a, b, c, n и m.

$AP^{2}={\frac {BP}{BC}}AC^{2}+{\frac {CP}{BC}}AB^{2}-BP$ · $CP\,$

Доказ преку тригонометрија

Теоремата може да се докаже на следниот начин:

Нека θ е аголот меѓу m и d, и θ′ аголот меѓу n и d. Тогаш θ′ е суплементен на аголот θ па cos θ′ = −cos θ. Според косинусната теорема за агли θ и θ′

${\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}$

Првата равенка се множи со n, втората со m, и се собираат за да се скрати cos θ, па се добива

${\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2})\\\end{aligned}}$

Со средување се добива првобитниот облик:

$AP^{2}={\frac {BP}{BC}}AC^{2}+{\frac {CP}{BC}}AB^{2}-BP$ · $CP\,$

Поврзано

• Триаголник
• Тежишна линија

Литература

• Waterston, Charles D; Macmillan Shearer, A (јули 2006). Former Fellows of the Royal Society of Edinburgh 1783-2002: Biographical Index (PDF). II. Единбург: Единбуршка академија на науките и уметностите. ISBN 9780902198845. Архивирано од изворникот (PDF) на 4 октомври 2006.CS1-одржување: ref=harv (link)