Википедија

Бројчена анализа: Разлика помеѓу преработките

Интерактивен преглед на историјата
[проверена преработка][проверена преработка]
← Постаро уредувањеПоново уредување →
Избришана содржина Додадена содржина
НагледноВикитекст
с Јазично подобрување, replaced: нумеричко → бројчено (4)
с Јазично подобрување, replaced: нумерички → бројчени (17)
Ред 1:
'''Бројчена анализа''' ('''бројчена анализа''') — област на [[математика]]та која изучува [[алгоритми]] кои користат нумеричкибројчени апроксимации (за разлика од општите симболички манипулации) за задачите и проблемите на математичката анализа (која што се разликува од дискретна математика).
Еден од најраните математички написи е Вавилонската плоча од Вавилонската колекција во Јеил (од 1800г. -1600г. п.н.е.) која дава нумеричкибројчени апроксимации (приближувања) на <math>\sqrt{2}</math> како должина на дијагоналата во единечен [[квадрат]] во [[броен систем]] со основа 60.
Од исклучително значење е да може да се пресметаат страните на еден [[триаголник]], а со тоа да може да се пресметаат и квадратни корени.
Ова е од големо значење во областа на астрономијата, столаријата и градежништвото. Бројчената анализа ја продолжува долгогодишната традиција на практичните математички пресметки (калкулации).
Ред 7:
</gallery>
Слично како Вавилонската апроксимација за <math>\sqrt{2} </math> , модерната бројчена анализа не бара точни (егзактни) одговори бидејќи точните (егзактни) одговори е најчесто невозможнo да се добијат во пракса. Наместо тоа голем дел од бројчената анализа се концентрира на добивање на приближни решенија во рамките на разумните граници на грешки.
Бројчената анализа наоѓа примена во сите области на инжeнерството и физичките науки, но во 21-от век исто така наоѓа примена и во општествените науки, па дури и во уметноста постојат усвоени елементи oд нумеричкибројчени пресметки.
Обичните диференцијални равенки се појавуваат во небесната механика (планети, ѕвезди и галаксии), бројчената линеарна алгебра е важна за анализата на податоци; стохастичките диференцијални равенки и Марковите вериги се од суштинско значење во симулирањето на однесувањето на живите клетки во медицината и биологијата.
Пред појавата на современите компјутери, бројчените методи често зависеле од рачна интерполација на големи печатени табли. Наместо тоа од средината на 20 век компјутерите почнале да ги пресметуваат потребните функциски вредности. Меѓутоа интерполационите формули сепак продолжуваат да се користат како дел од софтверот за решавање на диференцијални равенки.
== Општ вовед==
Општата цел во полето на бројчената анализа е дизајн и анализа на техники потребни да се добијат приближни, со однапред зададена точност, решенија за сложени проблеми, чија разновидност може да се види низ следново:
* Напредните нумеричкибројчени методи се од суштинско значење за временските предвидувања да бидат нумеричкибројчени изводливи
* Пресметување на траекторијата на вселенското летало бара прецизни нумеричкибројчени решенија на системи од обични диференцијални равенки.
* Автомобилските компании можат да ја подобрат безбедноста на нивните возила од сообраќајни несреќи со користење на компјутерски симулации на истите. Симулациите во суштина се состојат од бројчено решавање на парцијални диференцијални равенки.
* Приватните инвестициски фондови користат алатки од сите области на бројчената анализа за да ги пресметуваат вредностите на акциите и производите од другите учесници на пазарот.
* Авионските линии користат софистицирани алгоритми за оптимизација при донесување на одлуките за цените на билетите, авионите и членовите на екипажот, како и потребите за гориво. Историски гледано, такви алгоритми се развиени во рамките на областите кои се преклопуваат со операционите истражувања.
* Осигурителните компании користат нумеричкибројчени програми за статистички анализи.
=== Историја ===
Областа на бројчената анализа масовно се користела пред развојот на модерните компјутери. Линеарната интерполација била во употреба пред повеќе од 2000 години. Многу големи математичари од минатото биле преокупирани со бројчена анализа, што се гледа од имињата на некои важни алгоритми како на пример Њутнов метод, Лагранжова интерполација на полином, Гаусова елиминација или Ојлеров метод.
За да се олеснат рачните пресметки, големите книги биле произведени со додатоци на формули и табели на податоци, како што се интерполација на точки и коефициенти на функции.
Користењето на овие табели кои се често пресметани до 16 децимални места или повеќе за некои функции, можеле директно да се вклучат во веќе дадените формули и да се постигнат многу добри нумеричкибројчени проценки и решенија на некои функции. Канонската работа во оваа област е дадена во книгата објавена од страна на Националниот институт за стандарди и технологија на САД, уредена од Абрамовиќ и Стегун. Тоа е книга со над 1000 страници во која се дадени и обработени голем број на најчесто користени формули и функции и нивните вредности во многу точки.
Функциските вредности веќе не се користат многу често поради појавата на модерниот компјутер, меѓутоа голем број на формули се уште можат да бидат корисни и користени.
Механичкиот калкулатор бил развиен како алатка за рачно пресметување. Овие калкулатори еволуирале во електронските компјутери во 1940 година, а потоа било откриено дека овие компјутери можат да бидат користени и за административни цели. Пронаоѓањето на компјутерите влијаело во областа на бројчената анализа бидејќи оттогаш можеле да се вршат долги и сложени пресметки за многу кратко време.
Ред 91:
Откако една грешка се генерира таа се зголемува низ целата пресметка. Повторно за пример да ја истакнеме операцијата собирање (,,+,, на калкулатор или компјутер) за која веќе имаме спомнато дека не е прецизна, од тука следува дека и пресметката од видот a+b+c+d+e е уште понепрецизна.
Горе е спомнато дека доаѓа до грешка од скратување кога апроксимираме математичка постапка. Познато е дека за прецизна интеграција на функција неопходно е да се најде збирот на бесконечен број трапезоиди. Но, во пракса меѓутоа можно е да се најде сумата (збирот) само на конечен број на трапезоиди, а со тоа да се приближиме кон точната вредност на интегралот.
Слично на тоа, за да се најде извод на функцијата, диференцијалниот елемент се приближува кон нула, но нумеричкибројчено може да се избере само ограничена вредност на диференцијалниот елемент.
=== Бројчена стабилност и добро условени проблеми===
Бројчената стабилност е важен поим во бројчената анализа. Еден алгоритам се нарекува нумеричкибројчено стабилен ако една грешка, без разлика како е предизвикана, не расте многу во текот на пресметувањето. Ова се случува кога проблемот е добро условен што значи дека решението се менува со мала промена на влезните податоци. Во спротивно, ако проблемот е лошо условен тогаш секоја мала грешка во влезните податоците ќе предизвикува поголема грешка во решението.
Заедно и оригиналниот проблем и алгоритмот се користат да се реши проблем кој може да биде добро условен и/или лошо условен и секоја од овие комбинации може да биде возможна.
Значи еден алгоритам кој решава добро условен проблем може да биде нумеричкибројчено стабилен или нестабилен. Уметноста на бројчената анализа е да се најде стабилниот алгоритам за решавање на добро поставен математички проблем. На пример, пресметувањето на <math>\sqrt{2} </math> (кој грубо изнесува 1.41421) е добро поставен проблем. Многу алгоритми го решаваат овој проблем почнувајќи со почетна апроксимација
(приближување) на х<sub>1</sub> кон <math>\sqrt{2} </math> , на пример х<sub>1</sub>=1.4, и потоа со х<sub>2</sub>, х<sub>3</sub>, х<sub>4</sub> итн. Еден таков метод е познат како Вавилонски метод, кој е претставен како x<sub>k+1</sub>=x<sub>k</sub>/2 + 1/x<sub>k</sub>. Уште еден итеративен пристап, кој ќе го наречеме Метод Х, кој е даден со <math>x_{k+1}=(x_k^2-2)^2+x_k</math> .
Пресметани се неколку итерации од секој од методите и прикажани во табелата подолу со почетни вредности за x<sub>1</sub>=1.4 и x<sub>2</sub>=1.42.
Ред 112:
| || || x<sub>1000000</sub> = 1.41421...|| x<sub>28</sub> = 7280.2284...
|}
Може да се воочи дека вавилонскиот метод конвергира бргу без оглед на почетната вредност, додека пак Методот Х конвергира екстремно бавно со почетната вредност за х<sub>0</sub>=1.4 и дивергира за вредност за х<sub>0</sub>=1.42. Од тука Вавилонскиот метод претставува нумеричкибројчено стабилен алгоритам за разлика од методот Х кој е нумеричкибројчено нестабилен.
 
'''Лошо условен проблем''': Ако ја земеме функцијата <math>f(x) = \frac{1}{(x-1)}</math>. Забележи дека f(1.1) = 10 и f(1.001) = 1000: Промената во х од помалку од 0.1 преминува во промена во f(x) од приближно 1000. Евалуацијата на f(x) за приближно x = 1 претставува лошо условен проблем.
Ред 175:
Еден од најчестите проблеми со кои се сретнуваме во бројчената анализа е пресметување на вредности на <math>\int\limits_{a}^{b} f(x)dx</math>. Бројчената интеграција во некои случаи е позната како бројчена квадратура. Познатите методи користат една од Њутн-Котесови формули (како правило на средна точка или Симсоново правило) или Гаусова квадратура. Тие методи се потпираат на стратегијата ,,раздели па владеј,, , т.ш интегралот на релативно голем интервал се дели на повеќе интеграли на мали интервали. Во случаите на голем број величини, каде тие методи се недопустливо скапи и во поглед на компјутерските барања, се приоѓа на примена на Монте-Карловиот или Квази Монте-Карловиот метод или кај умерено голем број величини, се применува методот на ретка мрежа.
 
Методите на ретки мрежи се множество од нумеричкибројчени техники коишто претставуваат, интегрираат или интерполираат високо димензионални функции. Тие првично биле развиени од страна на рускиот математичар Сергеј Смолак, ученик на Лазар Листерник, и тие се базираат на конструкција на “редок” тензорски производ. Компјутерските алгоритми за ефикасно имплементирање на таквите мрежи подоцна биле развиени од страна на Мајкл Грибл и Кристоф Зенгер.
 
=== Диференцијални равенки'''===
Ред 183:
 
== Софтвер==
Од крајот на 20 век повеќето алгоритми од бројчена анализа се имплементираат во различни програмски јазици. Netlib-библиотеката содржи различни колекции на софтверпрограмски рутини за нумеричкибројчени проблемпроблеми, најмногу во FORTRAN и C. Комерцијалните производи имплементираат многу различни нумеричкибројчени алгоритми вклучувајќи ги и IMSL и NAG библиотеките; бесплатен начин е GNU научната библиотека.
Постојат неколку популарни нумеричкибројчени компјутерски апликации како што се [[MATLAB]] , TK Solver, S-PLUS, Lab View i IDL како подобар од бесплатните и отворени алтернативни извори како што се Free MAT, Scilab, [[GNU]] Oktave, (слично како [[MATLAB]]), IT ++ ([[C++]] библиотека), [[R]] (слично на S-PLUS) и одредени варијанти на Пајтон([[Python]]). Перформансите значително варираат во голема мера: кога векторските и матричните операции се најчесто брзи, скаларните јамки може да се разликуваат по брзина од повеќе од еден ред на големина.
Многу системи за компјутерска алгебра како Mathematica имаат достапност на аритметика со произволна прецизност која што може да обезбеди повеќе точни резултати. Исто така секој софтвер за табеларни пресметувања (како MS Excel) може да се користи за решавање на едноставни проблеми поврзани со бројчената анализа.
 
Преземено од „https://mk.wikipedia.org/wiki/Бројчена_анализа“