Прамен (геометрија)

Во геометријата, прамен е фамилија на геометриски објекти со заедничко својство, на пример множество од прави кои минуваат низ дадена точка во рамнината или множество од кружници кои минуваат низ две дадени точки во рамнината.

Иако дефиницијата за прамен е прилично нејасна, заедничка карактеристика е тоа што праменот е целосно определен од кои било два од неговите членови. Аналогно на тоа, множество од геометриски објекти кои се определени од кои било три негови члена се нарекува сноп.^[1] Така, множеството од сите прави низ точка во тридимензионален простор е сноп од линии, од кои било кои две одредуваат прамен од линии. За да се нагласи дводимензионалната природа на таквиот прамен, понекогаш се нарекува рамнински прамен .^[2]

Секој геометриски објект може да се користи во прамен. Вообичаени се прамените од прави, рамнини, кругови, конусите, сфери и од општи криви. Може да се користат дури и точки. Прамен од точки е множество од сите точки на дадена права.^[1] Почест термин за ова множество е опсег на точки.

Прамен од прави

Во рамнина, нека $u$ и $v$ се две различни прави кои се сечат. За конкретност, да претпоставиме дека $u$ е дадена со равенката, $aX + bY + c = 0$ , а $v$ со равенката $a'X + b'Y + c' = 0$ . Тогаш со равенката

λ u + μ v = 0

,

за соодветни скалари $λ$ и $μ$ , е дадена која било права што минува низ пресекот на $u$ = 0 и $v$ = 0. Ова множество од прави кои минуваат низ заедничка точка се нарекува прамен од прави.^[3] Заедничката точка на праменот од прави се нарекува теме на праменот.

Во афина рамнина со рефлексивна варијанта на паралелизам, множество од паралелни прави формира класа на еквиваленција наречена прамен од паралелни прави.^[4] Оваа терминологија е конзистентна со горенаведената дефиниција бидејќи во уникатното проективно продолжување на афината рамнина до проективна рамнина се додава една точка (бесконечна или идеална точка) на секоја права во праменот од паралелни прави, со што се добива прамен во горенаведената смисла во проективната рамнина.

Прамен од рамнини

Четири рамнини од осниот (аксијалниот) прамен на P1 P2

Прамен од рамнини, е збир од рамнини кои содржат дадена права во тридимензионалниот простор, наречена оска на праменот. Праменот понекогаш се нарекува осен или аксијален прамен ^[2] или вентилатор на авиони или сноп од рамнини.^[5] На пример, меридијаните на земјината топка се дефинирани со прамен од рамнини со оската на ротација на Земјата.

Две рамнини кои се сечат содржат една права во тридимензионалниот простор и така ја одредуваат оската, па оттука и сите рамнини од снопот.

Четиридимензионалниот простор на кватерниони може да се гледа како аксијален прамен од комплексни рамнини кои делат иста реална права. Всушност, кватернионите содржат сфера од имагинарни единици, а пар антиподни точки на оваа сфера, заедно со реалната оска, генерираат комплексна рамнина. Унијата на сите овие комплексни рамнини ја сочинува 4-алгебрата на кватерниони.

Прамен од кружници

Аполониеви кружници, два ортогонални прамени од кружници

Кои било две кружници во рамнината имаат заедничка радикална оска - правата која се состои од сите точки кои имаат ист степен во однос на двете кружници. Прамен од кружници (или коаксијален систем) е множеството од сите кружници во рамнината со иста радикална оска.^[6] За да биде вклучен и тој случај, се вели дека концентричните кружници ја имаат бесконечната права како радикална оска.

Постојат пет типа на прамени на кружници.^[7] Двете фамилии на Аполониевите кружници на горната илустрација претставуваат два од нив. Секој тип се одредува со две кружници наречени генератори на праменот. Кога се опишуваат алгебарски, можно е равенките да примаат имагинарни решенија. Различните видови се:

Елиптичен прамен (семејството од црвени кружници на сликата) се дефинира со два генератора кои се сечат во точно две точки. Секоја кружница на елипсовиден прамен поминува низ истите две точки. Елиптичен прамен не вклучува никакви имагинарни кружници.
Хиперболичен прамен (фамилијата од сини кругови на сликата) се дефинира со два генератора кои не се сечат еден со друг во ниту една точка. Вклучува реални кружници, имагинарни кружници и две дегенерирани кружници во точки наречени точки на Понселе на праменот. Секоја точка од рамнината припаѓа на точно една кружница од праменот.
Параболичен прамен (како граничен случај) се дефинира кога двете генерирачки кружници се допираат во една точка. Се состои од семејство од реални кружници, сите тангентни една на друга во една заедничка точка. На праменот му припаѓа и дегенерираната кружница со радиус нула во таа точка.
Семејство од концентрични кружници (може да се смета за посебен случај на хиперболичен прамен каде што другата точка е бесконечнaта точка).
Семејството од прави кои минуваат низ заедничка точка; овие прави треба да се толкуваат како кружници кои минуваат низ бесконечната точка (може да се смета за посебен случај на елипсовиден прамен).^[6]^[8]

Својства

Кружница кој е ортогонална на две фиксни кружници е ортогонална на секоја кружница од праменот што тие го одредуваат.^[6]

Кружниците кои се ортогонални на две фиксни кружници формираат прамен од кружници.^[6]

Две кружници определуваат два прамена, единствениот прамен кој ги содржи нив и праменот од кружници кои се ортогонални на нив. Радикалната оска на еден прамен се состои од центрите на кружниците на другиот прамен. Ако еден прамен е од елипсовиден тип, другиот е од хиперболичен тип и обратно.^[6]

Радикалната оска на кој било прамен од кружници, толкувана како кружница со бесконечен радиус, му припаѓа на праменот. Кои било три кружници припаѓаат на заеднички прамен секогаш кога сите три пара имаат иста радикална оска и нивните центри се колинеарни.

Проективен простор од кружници

Постои природна кореспонденција помеѓу кружниците во рамнината и точките во тродимензионалниот проективен простор; права во овој простор одговара на еднодимензионално непрекинато семејство од кружници, па оттука, прамен од точки во овој простор е прамен од кружници во рамнината.

Поточно, равенката на кружница со радиус $r$ центриран во точката ( $p, q$ ),

(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},

може да се запише како

\alpha (x^{2}+y^{2})-2\beta x-2\gamma y+\delta =0,

каде $α = 1, β = p, γ = q, и δ = p 2 + q 2 - r 2$ . Во оваа форма, множењето на четворката ( $α,β,γ,δ$ ) со скалар дава различна четворка која го претставува иста кружница; така, овие четворки може да се сметаат како хомогени координати за просторот од кружници.^[9] Правите линии може да се претстават и со равенка од овој тип во која $α = 0$ и треба да се смета дека е дегенерирана форма на кружница. Кога $α \neq 0$ , можеме да решиме за $p = β/α, q = γ/α$ , и $r =\sqrt(p 2 + q 2 - δ/α)$ ; последната формула може да даде $r = 0$ (во кој случај кружницата дегенерира до точка) или $r$ еднаков на имагинарен број (во тој случај се вели дека четворката ( $α,β,γ,δ$ ) претставува имагинарна кружница).

Множеството од афини комбинации од двете кружници ( $α 1,β 1,γ 1,δ 1$ ), ( $α 2,β 2,γ 2,δ 2$ ), односно множеството од кружници претставени со четворката

z(\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\delta _{1})+(1-z)(\alpha _{2},\beta _{2},\gamma _{2},\delta _{2})

за некоја вредност на параметарот $z$ , формира прамен; двете кружници се генератори на праменот.

Кардиоидата како обвивка (енвелопа) на прамен од кружници

Друг тип на прамен на кружници може да се добие на следниов начин. Размислете за дадена кружница (наречена генераторна кружница) и посебна точка $P$ на генераторната кружница. Множеството од сите кружници кои минуваат низ $P$ и имаат центри на генераторната кружница формираат прамен од кружници. Обвивката на овој прамен е кардиоида.

Прамен од сфери

Сферата е еднозначно определена со четири точки кои не се компланарни, а меѓу кои секо три не се колинеарни. Поопшто, сферата е уникатно одредена со четири услови како што се:^[10] да минува низ точка, да биде тангентна на рамнина итн .

Следствено, сферата е уникатно одредена со (т.е. поминува низ) кружница и точка која не е во рамнината на таа кружница.

Со испитување на заедничките решенија на равенките на две сфери, може да се види дека две сфери се сечат во кружница и рамнината која ја содржи таа кружница се нарекува радикална рамнина на сферите што се сечат.^[10] Иако радикалната рамнина е реална рамнина, кружницата може да биде имагинарна (кога сферите немаат реална заедничка точка) или да се состои од една точка (сферите се допираат во таа точка).^[11]

Ако $f (x, y, z) = 0$ и $g (x, y, z) = 0$ се равенките на две различни сфери тогаш

\lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z)=0

е во исто време равенка на сфера за произволни вредности на параметрите $λ$ и $μ$ . Множеството од сите сфери што ја задоволуваат оваа равенка се нарекува прамен од сфери определени од првобитните две сфери. Во оваа дефиниција е дозволено сферата да биде рамнина (бесконечен радиус, центар на бесконечност) и ако двете првобитни сфери се рамнини, тогаш сите сфери на праменот се рамнини, инаку има само по една рамнина (радикалната рамнина) во прамен.^[5]

Ако праменот од сфери не се состои само од рамнини, тогаш постојат три вида прамени:^[11]

Ако сферите се сечат во реална кружница C, тогаш праменот се состои од сите сфери кои ја содржат C, вклучувајќи ја и радикалната рамнина. Центрите на сите обични сфери во праменот лежат на права линија која минува низ центарот на C и е нормална на радикалната рамнина.
Ако сферите се сечат во имагинарна кружница, сите сфери на праменот, исто така минуваат низ оваа имагинарна кружница, но како обични сфери тие се разединети (немаат реални заеднички точки). Центрите лежат на права (централна права) која е нормална на радикалната рамнина, која е вистинска рамнина во праменот што ја содржи имагинарната кружница.
Ако сферите се сечат во точка A, сите сфери од праменот се допираат во A, а радикалната рамнина е заедничка тангентна рамнина на сите овие сфери. Централната права е нормална на радикалната рамнина на A.

Сите тангенти од фиксна точка на радикалната рамнина до сферите на праменот имаат иста должина.^[11]

Радикалната рамнина е геометриско место од точки (локус) на центрите на сите сфери кои се ортогонални на сите сфери од праменот. Покрај тоа, сфера која е ортогонална на кои било две сфери од даден прамен од сфери е ортогонална на сите сфери од праменот и нејзиниот центар лежи во радикалната рамнина на праменот.^[11]

Прамен од коники

Коника кој не е дегенериран е целосно определен со пет точки во општа положба (т.е. меѓу точките нема три кои се колинеарни) во рамнина и системот на коники кои минуваат низ фиксна група од четири точки (кои повторно се компланарни и меѓу кои нема три колинеарни) се нарекува прамен од коники.^[12] Четирите заеднички точки се нарекуваат основни точки на праменот. Низ која било точка различна од основните точки, поминува точно една коника од праменот. Овој концепт е обопштувње на поимот прамен од кружници.

Во проективна рамнина дефинирана преку алгебарски затворено поле, кои било две коники се среќаваат во четири точки (броени според кратноста) и така, го определуваат праменот од коники за овие четири точки. Понатаму, четирите базни точки одредуваат три пара од прави (дегенерирани коники низ основните точки, секоја права од парот содржи точно две базни точки) и така секој прамен од коники ќе содржи најмногу три дегенерирани коники.^[13]

Прамен од коники може да се претстави алгебарски на следниов начин. Нека $C 1$ и $C 2$ се две различни коники во проективна рамнина дефинирана преку алгебарски затворено поле $K$ . За секој пар $λ, μ$ од елементи на $K$ , така што двата не се нула, изразот:

\lambda C_{1}+\mu C_{2}

претставува коника од праменот определен со $C 1$ и $C 2$ . Оваа симболична претстава може да се конкретизира со мала злоупотреба на ознаката (користејќи ја истата нотација за означување на објектот како и за равенката која го дефинира објектот.) Размислувајќи за $C 1$ , да речеме, како за тернарна квадратна форма, тогаш $C 1 = 0$ е равенката на „кониката $C 1$ “. Друга конкретна реализација би била добиена со размислување за $C 1$ како за симетричната 3×3 матрица која ја претставува. Ако $C 1$ и $C 2$ имаат такви конкретни реализации, тогаш таква реализација ќе има и секој член од горенаведениот прамен. Бидејќи во овој начин се користат хомогени координати во проективна рамнина, две конкретни репрезентации (равенки или матрици) даваат иста коника ако се разликуваат за ненулта мултипликативна константа.

Прамен од рамнински криви

Поопшто, прамен е посебен случај на линеарен систем на делители во кој параметарскиот простор е проективна линија . На пример, типичните прамени од криви во проективната рамнина се напишани како

\lambda C+\mu C'=0\,

каде што $C=0\,$ , $C'=0\,$ се рамнински криви.

Историја

Дезарг е заслужен за измислувањето на терминот „прамен од прави“ (ordonnance de lignes ).^[14]

Еден од рaните автори на модерната проективна геометрија Г.Б. Халстед ги вовел термините копунктални и рамни прамени за да го дефинира поимот агол: „Правите кои минуваат низ иста точка се копунктални“. Исто така „Множеството од сите компланарни, копунктални прави се нарекува рамнински прамен“ и „Парче рамнински прамен ограничено со две од правите како страни, се нарекува агол “.^[2]

Поврзано

Подесување на прамен
Прамен на Лефшец
Прамен од матрици
Прамен од полуправи (зраци)
Фибрација
Геометриско место од точки (Локус)

Белешки

↑ ^1,0 ^1,1 Young 1971
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Halsted 1906
↑ Pedoe 1988
↑ Artin 1957
↑ ^5,0 ^5,1 Woods 1961
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 ^6,4 Johnson 2007
↑ Some authors combine types and reduce the list to three. Schwerdtfeger (1979, стр. 8–10)
↑ Schwerdtfeger 1979
↑ Pfeifer & Van Hook 1993.
↑ ^10,0 ^10,1 Albert 2016.
↑ ^11,0 ^11,1 ^11,2 ^11,3 Woods 1961.
↑ Faulkner 1952.
↑ Samuel 1988.
↑ Earliest Known Uses of Some Words of Mathematics, Посетено на July 14, 2020

Наводи

Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
Artin, E. (1957), Geometric Algebra, Interscience Publishers
Faulkner, T. E. (1952), Projective Geometry (2nd. изд.), Edinburgh: Oliver and Boyd, ISBN 9780486154893
Halsted, George Bruce (1906), Synthetic Projective Geometry, New York Wiley
Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry /A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
Pfeifer, Richard E.; Van Hook, Cathleen (1993), „Circles, Vectors, and Linear Algebra“, Mathematics Magazine, 66 (2): 75–86, doi:10.2307/2691113, JSTOR 2691113
Samuel, Pierre (1988), Projective Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (Readings in Mathematics), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
Schwerdtfeger, Hans (1979) [1962], Geometry of Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry, Dover, стр. 8–10.
Young, John Wesley (1971) [1930], Projective Geometry, Carus Monograph #4, Mathematical Association of America
Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An introduction to advanced methods in analytic geometry, Dover

Надворешни врски

„Pencil“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

[Young40-1] 1,0 ^1,1 Young 1971

[Halsted_1906-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Halsted 1906

[3] Pedoe 1988

[4] Artin 1957

[Woods2662-5] 5,0 ^5,1 Woods 1961

[Jo37-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 ^6,4 Johnson 2007

[7] Some authors combine types and reduce the list to three. Schwerdtfeger (1979, стр. 8–10)

[8] Schwerdtfeger 1979

[9] Pfeifer & Van Hook 1993.

[Albert_2016-10] 10,0 ^10,1 Albert 2016.

[Woods2674-11] 11,0 ^11,1 ^11,2 ^11,3 Woods 1961.

[12] Faulkner 1952.

[13] Samuel 1988.

[14] Earliest Known Uses of Some Words of Mathematics, Посетено на July 14, 2020

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]