Ердеш-Морделово неравенство

Во Евклидовата геометрија, Ердеш-Морделовото неравенство вели дека за секој триаголник ABC и точка P во ABC, збирот на растојанијата од P до страните е помал или еднаков на половина од збирот на растојанијата од P до темињата. Именуван е по Пал Ердеш и Луис Мордел. Ердеш (1935) го поставил проблемот за докажување на нееднаквоста; доказот го дале Мордел и Д. Ф. Бароу (1935) две години подоцна. Но, ова решение не било многу елементарно. Последователни поедноставни докази биле дадени од Казариноф (1957), Банкоф (1958) и Алсина & Нелсен (2007).

Неравенството на Бароу е зајакната верзија на Ердеш-Морделовото неравенство во која растојанијата од P до страните се заменети со растојанијата од P до точките каде симетралите на аглите на ∠APB, ∠BPC и ∠CPA ги сечат страните. Иако заменетите растојанија се подолги, нивниот збир сепак е помал или еднаков на половина од збирот на растојанијата до темињата.

Формулација

Ердеш-Морделово неравенство (Erdős–Mordell)

Нека $P$ е произволна точка во даден триаголник $ABC$, и нека $PL$, $PM$ и $PN$ се нормалите од $P$ кон страните на триаголникот. (Ако триаголникот е тапоаголен, една од овие нормали може да пресече друга страна на триаголникот и да заврши на потпорната права која содржи една од страните.) Тогаш неравенството гласи

${\overline {PA}}+{\overline {PB}}+{\overline {PC}}\geqslant 2({\overline {PL}}+{\overline {PM}}+{\overline {PN}})$

Доказ

Нека страните на ABC се: a e наспроти A, b е наспроти B и c е наспроти C. Исто така, нека ${\overline {PA}}=p,{\overline {PB}}=q,{\overline {PC}}=r;d(P,BC)=x,d(P,CA)=y,d(P,AB)=z.$ Прво, докажуваме дека

$cr\geq ax+by.$

што е еквивалентно на

${\frac {c(r+z)}{2}}\geq {\frac {ax+by+cz}{2}}.$

Десната страна е плоштината на триаголникот ABC, но на левата страна, r + z не е помал од висината на триаголникот. Следствено, левата страна не може да биде помала од десната страна. Сега, ја пресликуваме P симетрично во однос на симетралата на аголот при темето C. Гледаме дека cr ≥ ay + bx за сликата (рефлексијата) на P. Слично на тоа, bq ≥ az + cx и ap ≥ bz + cy . Ги решаваме овие неравенки за r, q и p :

$r\geq (a/c)y+(b/c)x,$

$q\geq (a/b)z+(c/b)x,$

$p\geq (b/a)z+(c/a)y.$

Се собираат трите неравенки и добиваме

$p+q+r\geq \left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)x+\left({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)y+\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)z.$

Бидејќи збирот на позитивен број и неговиот реципрочен број е најмалку 2, заради неравенството помеѓу аритметичката и геометриската средина, доказот е завршен. Еднаквост важи само за рамностран триаголник, каде што P е неговиот центар.

Друга (појака) верзија

Нека ABC е триаголник впишан во кружница (O) и P е точка во внатрешноста на ABC. Нека D, E, F се ортогоналните проекции на P врз BC, CA, AB. M, N, Q се ортогоналните проекции на P врз тангентите на (O) во A, B, C соодветно, тогаш:

${\overline {PM}}+{\overline {PN}}+{\overline {PQ}}\geqslant 2({\overline {PD}}+{\overline {PE}}+{\overline {PF}})$

Eднаквост важи ако и само ако триаголникот ABC е рамностран (Dao, Nguyen & Pham 2016 ; Marinescu & Monea 2017 )

Обопштувањe

Нека $A_{1}A_{2}...A_{n}$ е конвексен многуаголник и $P$ е точка од внатрешноста на $A_{1}A_{2}...A_{n}$. Нека $R_{i}$ е растојанието помеѓу $P$ и темето $A_{i}$, $r_{i}$ е растојанието од $P$ до страната $A_{i}A_{i+1}$, $w_{i}$ е отсечката на симетралата на аголот $A_{i}PA_{i+1}$ од $P$ до нејзиниот пресек со страната $A_{i}A_{i+1}$, тогаш (Ленард 1961):

$\sum _{i=1}^{n}R_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}w_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}r_{i}$

Во апсолутна геометрија

Во апсолутната геометрија, Ердеш-Морделовото неравенство е еквивалентно, како што е докажано во Pambuccian (2008), на ставот дека збирот на аглите во триаголник е помал или еднаков на два прави агли.

Поврзано

• Список на неравенства за триаголници

Наводи

• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), „A visual proof of the Erdős-Mordell inequality“, Forum Geometricorum, 7: 99–102, Архивирано од изворникот на 2020-07-16, Посетено на 2024-06-26.
• Bankoff, Leon (1958), „An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem“, American Mathematical Monthly, 65 (7): 521, doi:10.2307/2308580, JSTOR 2308580.
• Dao, Thanh Oai; Nguyen, Tien Dung; Pham, Ngoc Mai (2016), „A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality“ (PDF), Forum Geometricorum, 16: 317–321, MR 3556993, Архивирано од изворникот (PDF) на 2018-04-24, Посетено на 2024-06-26.
• Erdős, Paul (1935), „Problem 3740“, American Mathematical Monthly, 42: 396, doi:10.2307/2301373, JSTOR 2301373.
• Kazarinoff, D. K. (1957), „A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles“, Michigan Mathematical Journal, 4 (2): 97–98, doi:10.1307/mmj/1028988998.
• Lenhard, Hans-Christof (1961), „Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone“, Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, 12: 311–314, doi:10.1007/BF01650566, MR 0133060.
• Marinescu, Dan Ștefan; Monea, Mihai (2017), „About a strengthened version of the Erdős-Mordell inequality“ (PDF), Forum Geometricorum, 17: 197–202, Архивирано од изворникот (PDF) на 2018-04-24, Посетено на 2024-06-26.
• Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), „Solution to 3740“, American Mathematical Monthly, 44: 252–254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713.
• Pambuccian, Victor (2008), „The Erdős-Mordell inequality is equivalent to non-positive curvature“, Journal of Geometry, 88 (1–2): 134–139, doi:10.1007/s00022-007-1961-4.

Надворешни врски

• „Erdős-Mordell Theorem“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality", from Cut-the-Knot.