Во математиката, бесконечните кардинални броеви се претставени со првата хебрејска буква (алеф) со подзнак над редните броеви во облик на „алеф-број“. Втората хебрејска буква (бет) се користи на сличен начин, но не мора да ги опфаќа како подзнак сите броеви што ги опфаќа .

ОпределбаУреди

Бет-броевите се утврдуваат вака:

нека
 

е кардиналноста на преброиво бесконечно множество; поконкретно, како типичен случај можеме да го земеме множеството на природни броеви  . Со P(A) го означуваме партитивното множество на A, т.е. множеството на сите подмножества на A. Потоа задаваме

 

што е кардиналноста на партитивното множество на A ако   е кардиналноста на A.

Така зададено,

 

се кардиналностите на

 

па вториот бет-број   е еднаков на   (кардиналност на континуумот), а третиот бет-број   е кардиналноста на партитивното множество на континуумот.

Поради Канторовата теорема, секое множество во претходната низа има кардиналност строго поголема од она кое му претходи. Кај бесконечните лимесни ординали λ, соодветниот бет-број се дефинира како најмалата горна граница (супремум) на бет-броевите на сите ординали строго помали од λ:

 

Можеме да покажеме и дека фон Нојмановата хиерархија   има кардиналност  .

Поврзаност со алеф-броевитеУреди

Assuming the аксиомата на изборот, бесконечните кардиналности се линеарно подредени; секои две кардиналности мора да се споредливи. Така, бидејќи по дефиниција нема бесконечни кардинали помеѓу   и  , следи дека

 

Со повторување на овој аргумент (трансконечна индукција) добиваме   за сите ординали  .

Хипотезата за континуумот е еднаква на

 

Воопштената хипотеза на континуумот вели дека вака определената низа од бет-броеви е истоветна со низата од алеф-броеви, т.е.,   за сите ординали  .

Поединечни кардиналиУреди

Бет-нулаУреди

Бидејќи ова по дефиниција е   (алеф-нула), тогаш множествата со кардиналност   се следниве:

Бет-еденУреди

  Главна статија: „Кардиналност на континуумот.

Кардиналност   имаат следниве множества:

Бет-дваУреди

  се нарекува и 2c (изг. „на степен це“).

Множества со кардиналност   се:

Бет-омегаУреди

  (pronounced beth omega) is the smallest uncountable strong limit cardinal.

ВоопштувањеУреди

Понекогаш се користи поопштиот симбол   за ординали α и кардинали κ. Определбата гласи:

 
 
  ако λ е лимесен ординал.

Значи,  

Во Цермело-Френкеловата теорија, за секој кардинал κ и μ има ординал α така што:

 

Теоријата вели дека за секој кардинал κ и ординали α и β:

 

Затоа, во Цермело–Френкеловата теорија на множествата во отсуство урелементи со или без аксомата за избор за сите кардинали κ и μ, равенството

 

важи зас ите доволно големи ординали β (т.е. не постои α за која равенството ќе важи за секој ординал β ≥ α).

Ова важи и во Цермело-Фенкеловата теорија со урелементи со или без аксиомата за избор под услов урелементите да образуваат множество што е рамнобројно со некое чисто множество (множество чие транзитивно затворање не содржи урелементи). Ако важи аксиомата за избор, тогаш секое множество од урелементи е рамнобројно со чисто множество.

ПоврзаноУреди

НаводиУреди

  • T. E. Forster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995, стр. 5.