Бесконечно множество

Во теоријата на множествата, бесконечно множество е множество кое нема крај, т.е. не е конечно множество. Бесконечните множества може да бидат преброиви или непреброиви. Еве некои примери:

множеството од сите цели броеви, {..., -1, 0, 1, 2, ...}, е преброиво бесконечно множество, додека
множество од сите реални броеви е непреброиво бесконечно множество.

Својства

Множеството од природни броеви (чиешто постоење се претполага со аксиомата за бесконечноста) е бесконечно. Ова е единственото множество чиешто постоење непосредно се наложува во аксиомите. Постоењето на секое друго бесконечно множество може да се докаже со Цермело–Френкеловата теорија на множествата само преку доказ дека следува од постоењето на природните броеви.

Едно множество е бескочечно ако и само ако за секој природен број множеството има подмножество чијашто кардиналност (моќност) е тој природен број.

Ако важи аксиомата за избор, тогаш едно множество е бесконечно ако и само ако содржи преброиво бесконечно подмножество.

Ако едно множество од множествата е бесконечно или содржи бесконечен елемент, тогаш неговата унија е бесконечна. Партитивното множество на едно бесконечно множество е бесконечно. Секое надмножество на едно бесконечно множество е бесконечно. Ако едно бесконечно множество се подели на конечен број помали подмножества, тогаш барем едно од нив мора да е бесконечно. Секое множество што може да се преслика во бесконечно множество е бесконечно. Декартовиот производ од едно бесконечно и едно непразно множество е бесконечен. Декартовиот производ од бесконечен број на множества, секое со барем по два елемента, е или празен или бесконечен. Ако важи аксиомата на избор, тогаш е бесконечен.

Ако едно бесконечно множество е наполно подредено множество, тогаш мора да има непразно подмножество кое нема најголем елемент.

Според Цермело-Френкеловата теорија, едно множество е бесконечно ако и само ако партитивното множество на неговото партитивно множество е Дедекинд-бесконечно множество, содржејќи подмножество што е рамнобројно само на себе. Ако важи и аксиомата на избор, тогаш бесконечните множествa се токму Дедекинд-бесконечните множества.

Ако едно бесконечно множество е наполно подредливо множество, тогаш има многу добри поредоци што се неизоморфни.

Поврзано

Надворешни врски

„За конечното и бесконечното“ Архивирано на 18 јуни 2021 г. - Центар за инженерска математика, ФЕИТ - Скопје (македонски)